Calcul du nombre de partitions et involutions

[vaness]

Bonjour tout le monde

J'ai un problème de math à faire et j'essaye avant tout de comprendre tout les termes du sujet, je vais paraître bête mais je n'arrive pas à correctement définir ni trouver la définition de ce qu'est une classe dans la théorie des ensemble.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer (autrement qu'avec les définition "officielle" qu'on trouve sur wiki ou pour comprendre un mot on a une définition avec 20 autres mots qu'on ne connait pas)

Voila, je crée une nouvelle conversation car je vais sûrement avoir d'autres questions avant la fin de mon sujet.

Merci d'avance pour votre aide :girl2:

[L.A.]

Bonjour,

"classe", c'est-à-dire une classe pour une relation d'équivalence ?

[yos]

Exemple 1 :
soit E l'ensemble des passagers d'un train, R la relation "est dans le même wagon que" (c'est une relaion d'équivalence). Une classe d'équivalence modulo R est l'ensemble des passagers d'un wagon donné.
L'ensemble de ces classes (ou, en gros, l'ensemble des wagons) se note E/R. Après tu identifies souvent un passager à sa classe (On va dire le 23 pour parler d'un certain passager du wagon numéro 23).

Exemple 2 :
dans N, la relation "a même reste dans la division par 2 que". Il y a deux classes modulo cette relation : la classe des entiers pairs et celle des entiers impairs. On écrit ou bien comme dans l'abus de l'exemple 1 : E={0; 1}.

[L.A.]

Ouaip. Je rajoute un exemple :

On considère des objets posés sur un table, et la rel. d'éq. "ont la même couleur" défini sur l'ensemble de ces objets. Une classe d'équivalence pour cette rel. est par exemple l'ensemble des objets de couleur jaune.
une autre classe est l'ens. des objets rouges, etc...

un objet rouge et un objet jaune ne sont pas en relation, c'est à dire que deux classes distinctes sont disjointes. Et comme chaque objet fait partie de la classe correspondant à sa couleur, tout objet fait partie d'une classe. donc l'ens. quotient (ici ens. des couleurs possibles) forme une partition de l'ens. de départ.

[raito123]

Encore plus jolie : à partir d'une partition (A_i) indéxée dans I d'un ensemble E on peut créer un relation d'équivalence telle que chaque (A_i) est une classe d'équivalence !!

Pour exemple !!!

[abcd22]

Bonjour,

AMHA vaness ne veut pas parler de classes d’équivalence mais des classes (ou en) qui généralisent les ensembles en théorie des ensembles.
Une classe C est juste un objet défini par une propriété : C = {x tq P(x)} ; par exemple les x tels que x est un groupe, les x tels que x est un ensemble, les x tels que x x… définissent des classes (contrairement à ce qu’on vous a peut-être appris au début de sup ou de L1, où on dit qu’une propriété définit un ensemble et on ne se pose plus de questions). Les ensembles sont des classes mais une classe n’est pas toujours un ensemble, les 3 exemples que j’ai donnés n’en sont pas, dans les 2 premiers cas parce qu’ils sont trop gros (je ne me rappelle plus de la démonstration et je n’ai pas envie de chercher à cette heure-ci), le 3e parce que si on note C = {x, x x}, on ne sait pas si C C ou pas (si C C alors C C par définition de C, et si C C alors C C…).

[L.A.]

Ah, bon ben bien ; alors nous sommes complètment à côté de la plaque. (Mais j'avais tout de même posé la question...)

[yos]

L'interprétation d'ABCD22 est possible mais vu le public du forum, notamment les nouveaux intervenants, et vue la formulation de la question (naïve, aucune allusion à des théories axiomatiques), je crois que c'est bien de classes d'équivalence dont il était question. On le saura peut-être un jour si vaness se souvient d'avoir posé une question.
D'ailleurs quand on parle de théorie des ensembles, on est dans ZF et la notion de classe est hors ZF.

[vaness]

Merci de votre aide, j'ai eu des problèmes de connection au forum, j'avais un message d'erreur de base de donnée :triste:

Me revoila, j'ai réussi à trouver la réponse que je cherchais mais je suis maintenant embêtée plus loin dans le sujet..

Je vous fais un copié coller du sujet jusqu'à la question qui me pose problème :

Soit E un ensemble fini.
On appelle involution de E toute bijection f : telle que f o f = .
On appelle singleton toute partie de E à un élément.
On appelle paire toute partie de E à deux éléments.
A) 1) Soit E = {,...,}. On note ap le nombre de partitions de E en p classes de paires.
2) Exprimer ap en fonction de p. (On pourra commencer par montrer que pour tout .
3) On note b2p le nombre de partitions de E en classes de paires ou de singletons.
En raisonnant sur le nombre de singletons de la partition considérée, montrer que

Merci au garçon qui était dans la salle des ordi et qui m'a expliqué comment faire passer les caractères de math sur le forum, j'ai rien compris de ce qu'il a fait :doh:

[yos]

Bonsoir.

2) Si on ajoute à E deux éléments x et y, tu peux marier y à n'importe lequel des 2k+1 autres éléments de . Les 2k éléments restants peuvent se marier de façons.

3) Distingue les partitions
- formées uniquement de paires;
- formées de 2 singletons et (p-1) paires,
..............................
- formées uniquement de singletons.

[vaness]

Merci, je n'arrive vraiment pas à faire le 3).
Je comprend bien ce que veut dire la formule (j'ai eu du mal), mais pour la prouver.. c'est autre chose.

Je voudrais savoir quelque chose, la question suivante est :

B) On considère maintenant un ensemble E tel que card(E) = 2p + 1. Reprendre la question A-2) pour évaluer b2p+1.

(je pense que c'est A-3) et non A-2))

Je pense que la formule est :



Mais je ne suis pas sûre, donc pouvez vous me dire si c'est bon svp ?