Calcul de limite d'une fonction

[martin212]

Bonjour,

Je dois démontrer que .

Les outils que je peux utiliser sont les outils usuels de calcul de limites, théorème de comparaison, développement limité, etc. (mais pas la règle de l'Hospital) et pourtant après de multiples tentatives je ne trouve pas ...

Merci d'avance.

[jlb]

Bonjour, essaie de faire apparaître le nombre dérivé pour exp en 0, comme le quotient - 1/(1+x) tend vers 0 en l'infini, cela fonctionne bien.
[un dl donne encore plus facilement la solution!!!]

[deltab]

Bonjour.

Si on ne peut pas utiliser directement la règle de l'Hôpital, il n'est pas interdit d'utiliser le principe c.à.d. faire apparaître des termes dont la limite est par définition la dérivée d'une fonction en un point donné.

C'est l'idée proposée par Jib sans parler de la règle de l'Hôpital.

En développant cette idée, les calculs vont devenir simples. (Je viens de les faire)

[martin212]

Bonjour, merci pour vos réponses, alors je n'ai pas bien compris les histoires de ne pas appliquer la règle mais le principe ... donc j'ai essayé avec un D.L., voilà ce que ça donne. Est-ce que la "rédaction" est correcte ?



D.L. de avec en 0 à l'ordre 1 :





Donc,



Merci.

[deltab]

Bonjour.

Je n'ai pas vu d'erreurs dans les calculs que tu as fait.

Pour l'histoire de de la règle de l'Hôpital
Faisons le changement de variables , alors et
Quand , la limite du 1er facteur dans le dernier membres des égalités ne pose pas de problème, le second est une forme indéterminée . Mais par définition et finalement

[martin212]

AAhh ! Merci deltab, c'est bon j'ai compris !

[martin212]

Encore une petite chose ...

Nous avons montré que :



La suite de la question est la suivante :

Déterminer et pour que la droite d'équation soit asymptote à la courbe d'équation quand tend vers .

Voilà où j'en suis arrivé :

est asymptote à en si .

Donc on sent bien que c'est de la même forme que ce que l'on vient de montrer mis à part le fait que ce soit et non .

Comment conclure ... ?

[jlb]

Bonjour, comme





et que alors ton asymptote a pour équation y=ex-e

[tu as un petit dl à faire à nouveau pour trouver la limite ou sinon factoriser par ex pour retrouver la limite précédente, je te laisse faire, bon courage]

[emdro]

Bonjour,

Tu peux remarquer que .

Le problème vient du fait que ne tend pas vers 0 lorsque tend vers , donc tu ne peux pas utiliser ton DL d'. Voilà pourquoi on est amené à faire cette décomposition. La quantité tend bien vers 0 (ce que tu as omis de vérifier en faisant ton DL).

[emdro]

Par ailleurs, les formulations :

la courbe d'équation

et

est asymptote à en si .

sont incorrectes. Je te laisse chercher pourquoi.