Calcul de limite

[amed61]

Bonjour
Pouvez vous m'aider à trouver la limite en 0(zéro) de la fonction:
f(x)= (1-cosx.cos2x.cos3x.....cosnx)/x*x, c'est x au carré au dénominateur

Merci

[ThekamikazeFou]

connais tu les développements limités?

[amed61]

connais tu les développements limités?

Non il n'est pas de le programme de terminal

[ThekamikazeFou]

tu es dans le forum "supérieur" !
a quoi est égale cos(0) ?

y a t'il des conditions sur n? il s'agit d'un entier tendant vers l'infinie je suppose?

connais tu les équivalents?
a quoi est équavalent ta fonction en 0 ?

[Skullkid]

Bonjour, je suppose que n est un entier supérieur à 1 quelconque donné, et qu'il n'y a aucune connaissance des développements limités et des équivalents, juste la limite classique (1-cos(x))/x^2 en 0.

La première chose à faire est de regarder le cas n = 1, puis n = 2. Comment se servir du cas n = 1 pour résoudre le cas n = 2 ? On peut ensuite étendre pour passer de n à n+1 et en déduire une relation de récurrence. Ne pas oublier de s'assurer de l'existence des objets qu'on manipule (ne pas écrire "lim" de quelque chose avant d'avoir prouvé que la limite existait).

[amed61]

Bonjour, je suppose que n est un entier supérieur à 1 quelconque donné, et qu'il n'y a aucune connaissance des développements limités et des équivalents, juste la limite classique (1-cos(x))/x^2 en 0.

La première chose à faire est de regarder le cas n = 1, puis n = 2. Comment se servir du cas n = 1 pour résoudre le cas n = 2 ? On peut ensuite étendre pour passer de n à n+1 et en déduire une relation de récurrence. Ne pas oublier de s'assurer de l'existence des objets qu'on manipule (ne pas écrire "lim" de quelque chose avant d'avoir prouvé que la limite existait).

C'est le cheminement que j'ai essayé mais je n'ai pas trouvé de relation de récurrence, je développe avec cos2x et cos(a+b) ça se complique rapidement

[amed61]

tu es dans le forum "supérieur" !
a quoi est égale cos(0) ?

y a t'il des conditions sur n? il s'agit d'un entier tendant vers l'infinie je suppose?

connais tu les équivalents?
a quoi est équavalent ta fonction en 0 ?

Non je ne connais pas cette notion d'équivalent, je souhaite faire ça avec les formules: lim(sinx/x) et lim((1-cosx)/x*x) en zéro

[momoyoyo10]

la reponse c'est n(n+1)(2n+1)/12

[Skullkid]

Oui n'essaye pas de développer les cos. Pars de l'expression pour n = 2 et force la factorisation par une quantité dont tu connais la limite, par exemple (1 - cos(2x))/x^2. Il va te rester (1 - cos(x)cos(2x))/(1 - cos(2x)). Essaye de bidouiller pour faire apparaître le cas n = 1.

[momoyoyo10]

la reponse c'est n(n+1)(2n+1)/12 a vous a demontrer

[momoyoyo10]

la reponse c'est n(n+1)(2n+1)/12 a vous a demontrer

[amed61]

Oui n'essaye pas de développer les cos. Pars de l'expression pour n = 2 et force la factorisation par une quantité dont tu connais la limite, par exemple (1 - cos(2x))/x^2. Il va te rester (1 - cos(x)cos(2x))/(1 - cos(2x)). Essaye de bidouiller pour faire apparaître le cas n = 1.

Je suis en train d'essayer et reessayer, j'espère pouvoir arriver à qlque chose

[amed61]

la reponse c'est n(n+1)(2n+1)/12 a vous a demontrer

Merci, maintenant j'ai un résultat devant moi

[amed61]

Oui n'essaye pas de développer les cos. Pars de l'expression pour n = 2 et force la factorisation par une quantité dont tu connais la limite, par exemple (1 - cos(2x))/x^2. Il va te rester (1 - cos(x)cos(2x))/(1 - cos(2x)). Essaye de bidouiller pour faire apparaître le cas n = 1.

j'ai trouvé 5/2 pour n=2
j'ai écris:1-cosx.cos2x=(1-cos2x)(1+cosx) - cosx + cos2x

[amed61]

la reponse c'est n(n+1)(2n+1)/12 a vous a demontrer

c'est vérifié pour n=2
j'ai trouvé 5/2
j'ai écris:1-cosx.cos2x=(1-cos2x)(1+cosx) - cosx + cos2x

[Skullkid]

Très bien, donc maintenant il te reste à appliquer un procédé similaire pour ramener le cas n+1 au cas n, et tu obtiendras une relation de récurrence entre les limites.

[hammana]

Non je ne connais pas cette notion d'équivalent, je souhaite faire ça avec les formules: lim(sinx/x) et lim((1-cosx)/x*x) en zéro

Bonsoir!
Si tu sais que lim((1-cosx)/(x*x)=1/2, donc quand x tend vers 0 on peut écrire cosx=(1-x²/2)
cos2x=(1-4x²/2); cos3x=(1-9x2/2); cos4x=(1-16x²/2); etc
En négligeant dans le produit les termes en x de degré supérieur à 2 tu trouves que la limite cherchée est:
(1+4+16+...+n²)/2
Je suppose que tu connais la somme des carrés des n premiers nombres entiers

[amed61]

Bonsoir!
Si tu sais que lim((1-cosx)/(x*x)=1/2, donc quand x tend vers 0 on peut écrire cosx=(1-x²/2)
cos2x=(1-4x²/2); cos3x=(1-9x2/2); cos4x=(1-16x²/2); etc
En négligeant dans le produit les termes en x de degré supérieur à 2 tu trouves que la limite cherchée est:
(1+4+16+...+n²)/2
Je suppose que tu connais la somme des carrés des n premiers nombres entiers

Bonsoir
Oui je suis arriver à trouver cette relation par récurrence, et bien sûr je connais la formule:
(1+4+16+...+n²)/2 = n(n+1)(2n+1)/12

[amed61]

Bonsoir
Grâce à votre aide j'ai calculé la limite de 1-cosx.cos2(2x)….cosn(nx)/x2 en 0
avec des puissance 1; 2 ; ..., n pour les cos
Merci

[chan79]

J'étais parti un peu autrement (c'est plus long)

On pose

donc

Ensuite





si a comme limite quand x tend vers 0, alors le second quotient a comme limite

Le premier quotient est égal à

La limite du premier quotient est donc



On montre que

Ensuite, par téléscopage