Calcul de limite (MPSI)

[Anonyme]

Bonjour

Je cherche la limite de (u^v-v^u)/(u-v) en 0
sachant que :
u et v positives
au voisinage de 0, u(x) different de v(x)
limite de u en 0 = limite de v en 0 = a avec a>0

J'ai trouvé la limite précédente qui etait (v*ln(u)-u*ln(v))/(u-v) en 0 avec
les memes conditions, cette limite vaut 1-ln(a)
et je pense qu'il y a un rapport entre les deux car :
(u^v-v^u)=(e^(v*ln(u))-e^(u*ln(v)))

Merci de votre aide.

[Anonyme]

Le Fri, 8 Oct 2004 16:43:48 +0200
Valentin Blot a écrit
>Bonjour
>
>Je cherche la limite de (u^v-v^u)/(u-v) en 0
>sachant que :
>u et v positives
>au voisinage de 0, u(x) different de v(x)
>limite de u en 0 = limite de v en 0 = a avec a>0
>
>J'ai trouvé la limite précédente qui etait (v*ln(u)-u*ln(v))/(u-v) en 0 avec
>les memes conditions, cette limite vaut 1-ln(a)
>et je pense qu'il y a un rapport entre les deux car :
>(u^v-v^u)=(e^(v*ln(u))-e^(u*ln(v)))

tu as (v*ln(u)-u*ln(v))/(u-v) -> 1-ln(a)

par passage à l'exponentielle

u^v / v ^u ~ exp((1-ln(a))(u-v)) = 1 + (1-ln(a)) (u-v) + o(u-v)

puis tu mets en facteur v^u qui tend vers a^a dans (u^v-v^u)/(u-v).



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...