Calcul de limite compliqué

[Science]

Bonjour je dois calculer la limite de la suite suivante mais j'y arrive pas :
Un=(((1/n)Somme(k^(1/n)))^n pour k allant de 1 à n
J'explique U c'est (1/n) multiplier par la somme des k à la puissance 1/n (k allant de 1 à n) et le tout à la puissance n
Désolé mais je sais pas écrire en Latex merci de votre aide

Cordialement

Science

Ps: le prof nous a conseillé de prendre ln(Un) pour mettre la puissance en bas mais j'y arrive toujours pas. Je pense que la limite de Un doit avant tout dépendre de la somme

[Nightmare]

Salut,

une comparaison série-intégrale n'aboutie pas?

[Ben314]

Salut,
En utilisant la concavité de la fonction t->t^(1/n) pour minorer la moyenne des images ça donne...

[Ben314]

Salut,
J'ai commencer par dire une connerie (que j'ai enlevé) mais là, ça risque d'être mieux.
Tu prend le log puis tu utilive la concavité de la fonction log pour dire que log(moyenne des ...)>= moyenne des log(...)
Et il faut terminer en utilisant une comparaison somme/intégrale.

[Science]

Salut,
J'ai commencer par dire une connerie (que j'ai enlevé) mais là, ça risque d'être mieux.
Tu prend le log puis tu utilive la concavité de la fonction log pour dire que log(moyenne des ...)>= moyenne des log(...)
Et il faut terminer en utilisant une comparaison somme/intégrale.

Je précise que là on est dans le programme concernant le suites équivalentes, les comparaisons de suites,etc et que je n'ai pas le droit d'utiliser ces outils là même si c'est l'intégrale ca aurait des choses.

[Pythales]

Je pense qu'on y arrive sans utiliser la concavité (mais en comparant avec une intégrale).

[Science]

Je pense qu'on y arrive sans utiliser la concavité (mais en comparant avec une intégrale).

Personne pour m'aider à résoudre l'exo sans utiliser d'intégrale?
Ben peux-tu me préciser ton idée sur la moyenne des ln?
merci à tous!

[Pythales]

Peut-être en considérant une somme de Cesaro ...

[Ben314]

Personne pour m'aider à résoudre l'exo sans utiliser d'intégrale?
Ben peux-tu me préciser ton idée sur la moyenne des ln?
merci à tous!

Lorsque tu as une fonction concave (par exemple deux fois dérivable de dérivée seconde négative) alors la "corde" reliant deux points de la courbe est toujours en dessous de la courbe et une petite récurrence montre que l'enveloppe convexe de n points de la courbe est aussi entièrement sous la courbe.
"calculatoirement parlant", cela signifie que toute moyenne (à pondérations positives) de f(xi) est inférieure ou égale à f(moyenne des xi) :
Si les sont et que alors

Par exemple, cela signifie que

et il faut une comparaison somme/intégralle pour minorer cette dernière somme.

En fait c'est un peu con du fait que, comme le disent Nightmare et Pythales, on peut aussi utiliser une comparaison somme/intégrale dés le départ.

Par contre, sans utiliser de comparaison somme/intégralle, ben je vois pas (faut dire que c'est quand même l'un des outils les plus fréquement utiliser pour encadrer une somme...)

Edit : A la rigueur, si tu ne veut pas d'intégrales, tu peut écrire que :

ce qui suffit à montrer que la suite tend vers +oo.

[Science]

Lorsque tu as une fonction concave (par exemple deux fois dérivable de dérivée seconde négative) alors la "corde" reliant deux points de la courbe est toujours en dessous de la courbe et une petite récurrence montre que l'enveloppe convexe de n points de la courbe est aussi entièrement sous la courbe.
"calculatoirement parlant", cela signifie que toute moyenne (à pondérations positives) de f(xi) est inférieure ou égale à f(moyenne des xi) :
Si les sont et que alors

Par exemple, cela signifie que

et il faut une comparaison somme/intégralle pour minorer cette dernière somme.

En fait c'est un peu con du fait que, comme le disent Nightmare et Pythales, on peut aussi utiliser une comparaison somme/intégrale dés le départ.

Par contre, sans utiliser de comparaison somme/intégralle, ben je vois pas (faut dire que c'est quand même l'un des outils les plus fréquement utiliser pour encadrer une somme...)

Edit : A la rigueur, si tu ne veut pas d'intégrales, tu peut écrire que :

ce qui suffit à montrer que la suite tend vers +oo.

Je vois ce que tu veux dire et je pense que ta démonstration est correcte sauf que si n est impaire k=n/2 n'a pas de sens

[benekire2]

Salut,

Tu peut toujours prendre sa partie entière dans ce cas.

[Pythales]

Quand je parlais de somme de Cesaro, je pensais qu'on pouvait traiter la somme comme une somme de Cesaro, tenant compte du fait que, pour fixé, en scindant en 2 le numérateur : termes inférieurs à et termes supérieurs à ceci pour montrer que la fraction est équivalente à et que

[Ben314]

Quand je parlais de somme de Cesaro, je pensais qu'on pouvait traiter la somme comme une somme de Cesaro, tenant compte du fait que, pour fixé, en scindant en 2 le numérateur : termes inférieurs à et termes supérieurs à ceci pour montrer que la fraction est équivalente à et que

Je sais pas trop si ça marche super facilement du fait que ton "équivalence", si on la prend au sens usuel (i.e. que le quotient des deux quantitées tend vers 1) ben elle dit juste que la fraction tend vers 1 vu que n^(1/n) tend vers 1.
Bien entendu, tu ne peut absolument rien en déduire concernant Un (ce qui montre en particulier que l'on ne peut pas élever des équivalents à la puissance n !!!)

Donc ça marcherais (peut-être) mais en remplacant ton "équivalent" par quelque chose de nettement plus précis...