Calcul d'intégrale avec gaussienne

[Anso14]

Bonjour à tous,

J'ai un soucis de calcul d'intégrale, je dois calculer l'intégrale sur tout le domaine réel de
exp(-1/2*(a*x²+b*y²+c*z²+2*d*x*y+2*e*x*z+2*y*z)) dx*dy*dz
je ne vois pas comment décorréler les variables pour arriver au calcul d'une intégrale gaussienne qui est connu
(intégrale exp(-1/2*a*x)dx=racine(2*pi/a)

Merci pour vos idées éventuelles :-)

Anne-Sophie

[JJa]

Bonjour,

Indication : (a*x²+b*y²+c*z²+2*d*x*y+2*e*x*z+2*y*z) = 0 est l'équation d'une conique (en général) dont on peut déterminer le centre et les axes principaux.
Pour calculer l'intégrale triple, il faut certainement faire d'abord un changement de variables pour se ramener à un repère cartésien correspondant aux axes principaux de la conique.
Ensuite, passer en coordonnées sphériques pour la simplification de l'intégrale triple.
Plus facile à dire qu'à faire... bon courage !

[Maxmau]

Bonjour

Je suppose que la forme quadratique qui intervient est définie positive
Diagonalise la en base orthonormée et fais le changement de variable qui en découle
Tu te ramènes ainsi à calculer
Integ ( Exp(-1/2(;)X²+;)Y²+;)Z²) ) où ;),;),;) sont les valeurs propres

[Anso14]

merci pour vos idées..j'ai trouvé un résultat numérique en cherchant les valeurs propres de la forme quadratique :-)