Calcul Intégrale avec Exponentielle

[Roger75]

Bonjour,

Dans un corrigé d'exercice sur l'espérance conditionnelle, je lis :
"Espérance[exp(a*X)] = exp(a*Espérance[x]+a^2/2*Var[X])"

Sachant que X suit une loi normale non centrée, non réduite et que a est une constante.

Le corrigé ne donne aucun détail pour arriver à cette égalité donc je suppose que ça doit être assez rapide mais je ne vois pas du tout comment l'obtenir. :triste:

Est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci de vos réponses.

Roger

[spike0789]

Salut,

Il suffit de calculer avec

Si je ne dis pas de bêtises...

[Roger75]

Salut Spike,

Merci pour ta réponse. :we: Je suis d'accord, mais je ne vois pas comment calculer cette intégrale. J'ai fouiné un peu sur internet, mais à part l'IPP, qui ici ne marche pas, je ne sais pas quoi utiliser.

[spike0789]

Salut Spike,

Merci pour ta réponse. :we: Je suis d'accord, mais je ne vois pas comment calculer cette intégrale. J'ai fouiné un peu sur internet, mais à part l'IPP, qui ici ne marche pas, je ne sais pas quoi utiliser.

Pas besoin d'IPP.
On va le faire ensemble alors :



On pose donc et on a :




On fait apparaître :







On reconnaît l'intégrale de Gauss et on a bien :

Et finalement :

[Roger75]

Merci beaucoup Spike ! :we: Donc j'imagine que tu choisis ce changement de variable parce qu'il te permet de supprimer le sigma, ce qui te permet de faire disparaître le 1/racine(2pi) au moment où l'intégrale de Gauss apparaît. En plus, en faisant apparaître cette intégrale de Gauss, tu fais aussi apparaître le (a*sigma)^2/2.
Je comprends ligne à ligne, mais je me demande comment on fait pour trouver ce genre d'idées.

[spike0789]

Alors, tu es d'accord que le changement de variable était facile à voir. Ensuite on a deux termes dépendant de u dans l'intégrale.
On les regroupe et on tombe sur , soit égal à :

Et là, il suffit de faire apparaître du pour tomber sur du (sachant que ne dépend pas de u et donc sort de l'intégrale)

On tombe bien sur l'intégrale de Gauss à la fin.

[Roger75]

Alors, tu es d'accord que le changement de variable était facile à voir. Ensuite on a deux termes dépendant de u dans l'intégrale.
On les regroupe et on tombe sur , soit égal à :

Et là, il suffit de faire apparaître du pour tomber sur du (sachant que ne dépend pas de u et donc sort de l'intégrale)

On tombe bien sur l'intégrale de Gauss à la fin.

Vu comme ça, ça paraît simple en fait. J'ai déjà eu un cours d'intégration, mais ne suis pas du tout habitué aux calculs. Merci beaucoup pour tes réponses, c'est super sympa de ta part.

[spike0789]

Je t'en prie ! A la prochaine :)