Calcul intégral ardu

[mehdi-128]

Bonsoir ,comment calculer :



ou : avec a complexe ...




merci d'avance ...

[alben]

Bonjour,
Je pense qu'il faut diviser ton intervalle d'intégration en deux (x>0 et x<0), pour la partie positive pose f(x)= exp(ax+x)/(1+exp(-x)).
Dans les deux cas, tu pourras écrire le diviseur sous forme d'une série convergente 1-exp(-x)+exp(-2x)...

[tize]

Bonjour Alben,
on doit pouvoir aussi la calculer avec les résidus, non ?
[EDIT] finalement avec les résidus je n'y arrive pas...si quelqu'un sait faire...

[alben]

Bonjour Tize,
J'ai essayé mais si le résidu est facile à calculer, je n'ai pas trouvé de contour intéressant (sur le demi cercle de rayon infini, la fonction n'est pas bornée)

[mehdi-128]

Bonjour Tize,
J'ai essayé mais si le résidu est facile à calculer, je n'ai pas trouvé de contour intéressant (sur le demi cercle de rayon infini, la fonction n'est pas bornée)

J'ai réussi à avoir un indice :

On pourra utiliser le contour de l'ensemble:


y0 différent de

[alben]

Effectivement, ça marche bien, on arrive à
C'est d'ailleurs OK avec la méthode directe que j'avais proposée qui conduit à la somme de la série

[mehdi-128]

Effectivement, ça marche bien, on arrive à
C'est d'ailleurs OK avec la méthode directe que j'avais proposée qui conduit à la somme de la série

Je connais pas la valeur de cette série moi :hum:

[tize]

Oui j'ai trouvé la même chose que Alben avec les résidus mais par contre je ne connaissais pas la formule

[alben]

Moi non plus, je ne la connaissais pas. Il se trouve que l'on arrive à cette série en décomposant l'intégrale. J'ai vérifié que ça marchait bien (testant quelques valeurs).
On doit pouvoir la retrouver avec les séries de Fourier...
Au passage, on vient de d'établir la preuve que la série en question converge vers le résultat établi par les résidus :id:

[tize]

Excellent ! :we: