Calcul hauteur/débit d'une canalisation ovoïde donnée

[Edhyx47]

Bonjour,

Je vous contacte car je dois faire l'instrumentation d'une canalisation ovoïde ayant une fonction de déversoirs d'orages dans le but d'obtenir un débit via une hauteur donnée par une sonde ultrason.

Pour cela il faut que je prenne 20 points de hauteur pour lesquels je dois calculer le débit théorique afin de configurer mon instrumentation. (calcul manning-strickler)

Etant pour la première fois confronter à un ovoïde et n'étant que niveau bac pro électromécanique je dois bien avouer que je me casse la tête dessus depuis plusieurs jours déjà sans réussir à en voir la fin.(C'est pour ça que je demande de l'aide)

J'ai essayé de me dépatouiller avec ceci : enigmes/hauteur-eau-dans-une-canalisation-ovoide-t123186.html

Seulement je n'ai pas réussi à avoir des résultats cohérents entre eux de plus ma canalisation ovoïde n'a pas exactement la même forme que sur le topic ci-dessus.

Alors voilà je demande à un ou une valeureux(se) de m'aider pour réussir à calculer mon débit, afin de pouvoir me générer une courbe hauteur/débit.

Voici les données que j'ai pu rassembler sur mon ovoïde ;
-coeff. rugosité : 60 (béton neuf)
-Pente : 1.93cm/m
-ensuite pour la forme exacte ainsi que les dimensions hauteur/largeur il faut prendre la ligne 150/90 du schéma ci-dessous:
http://wikhydro.developpement-durable.g ... 3%AFde_(HU)
(copier coller le lien car la dernière parenthèse n'ai pas pris en compte dans le lien et sans elle ça mène a une page vide)

Bon courage et merci d'avance !
Cordialement (Un type pas très doué en math qui ne comprend pas pourquoi ses chefs lui ont demandé de faire sa alors qu'il est électricien )

[lyceen95]

Et ce n'est pas une question de maths, mais une question de physique / mécanique des fluides.

Les matheux purs ne sauront pas vraiment t'aider.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Si je comprends bien la formule de Manning-Stricker, ce qui te manque est le rayon hydraulique, c.-à-d. le quotient de l'aire de la section transversale de l'écoulement par le périmètre mouillé, en fonction de la hauteur d'eau ?

Le calcul de ce rayon hydraulique est bien un calcul (pas très agréable) de mathématiques.

[Edhyx47]

Bonjour,

Si je comprends bien la formule de Manning-Stricker, ce qui te manque est le rayon hydraulique, c.-à-d. le quotient de l'aire de la section transversale de l'écoulement par le périmètre mouillé, en fonction de la hauteur d'eau ?

Le calcul de ce rayon hydraulique est bien un calcul (pas très agréable) de mathématiques.

Rebonjour,
Oui GaBuZoMeu c'est exactement sa.

[GaBuZoMeu]

Je travaille dans un repère qui a pour origine le point le plus bas de l'ovoïde et donc l'axe des ordonnées est l'axe de symétrie de celui-ci.
Le bord gauche de l'ovoïde est la réunion de quatre arcs de cercle.
L'arc de cercle le plus bas a pour centre le point A0 sur l'axe des ordonnées d'ordonnée r0=70 et pour rayon r0=70.
L'arc de cercle le plus haut a pour centre le point A3 sur l'axe des ordonnées d'ordonnée r0+d=108,5 et pour rayon r3=41,5.
Le deuxième arc de cercle en partant du bas a pour centre le point A1 sur la droite x=-e/2=-7,5 qui est à distance r0-r1=52,25 de A0, et pour rayon r1=18,75. La contrainte est la tangence des deux cercles.
Le troisième arc de cercle a pour centre le point A2 sur la droite x=-b/2+r2=90 qui est à distance r2-r3=93,5 de A3 et pour rayon r2. La contrainte est ici aussi la tangence des deux cercles.
La tangence entre le deuxième et le troisième arc de cercle n'est pas top, mais on fait avec.



Le dessin est fait avec GeoGebra. On y lit
1er arc de cercle
avec y entre 0 et 0,75
2e arc de cercle
avec y entre 0,75 et 6,21
3e arc de cercle
avec y entre 6,21 et 119,75
4e arc de cercle
avec y entre 119,75 et 150.

Avec ça, on peut calculer. Avec un logiciel de calcul, bien sûr. C'est plus confortable, et on risque moins de se tromper.

[GaBuZoMeu]

J'ai demandé poliment à mon esclave numérique (SageMath) de faire les calculs. Et voici ce qu'il me donne, en dessin :



J'ai aussi demandé le périmètre total de l'ovoïde : 390,4 cm et son aire totale : 1,0888 m². Ça colle bien avec le tableau. Par contre, le Rh moyen du tableau me laisse assez perplexe ; ça ne dit absolument rien de la façon dont le rayon hydraulique varie en fonction de la hauteur.

[GaBuZoMeu]

Et puisqu'au final tu t'intéresses au débit, que l'on peut calculer en fonction de la hauteur grâce à la formule de Manning-Strickler, avec les infos que tu as données :



Aucune idée si ce résultat théorique correspond à la réalité

[Edhyx47]

En effet au vue de la courbe je peux te dire que cela correspond à l'ouvrage ; je ne m'en serai pas tiré sans dégâts permanents au cerveau sans toi et ton esclave numérique .
Je vais pouvoir dormir sereinement,
Merci beaucoup.

[GaBuZoMeu]

Mon code SageMath :

Code: Tout sélectionner

y,h=var('y,h')
arc1=sqrt(4900-(y-70)^2)
arc2=7.5 + sqrt(351.56-(y-19.3)^2)
arc3=-90 +sqrt(18225 - (y-83.16)^2)
arc4=sqrt(1722.25 - (y-108.5)^2)

y1=0.75; y2=6.21; y3=119.75

forget()
assume(h>0)
assume(h<y1)
aire1=2*integrate(arc1,y,0,h)
plein1=2*integrate(arc1,y,0,y1)
perim1=140*arccos(1-h/70)
long1=140*arccos(1-y1/70)

forget()
assume(h>y1)
assume(h<y2)
aire2=plein1+2*integrate(arc2,y,y1,h)
plein2=plein1+2*integrate(arc2,y,y1,y2)
perim2=long1+37.5*(arccos((19.3-h)/18.75)-arccos((19.3-y1)/18.75))
long2=long1+37.5*(arccos((19.3-y2)/18.75)-arccos((19.3-y1)/18.75))

forget()
assume(h>y2)
assume(h<y3)
aire3=plein2+2*integrate(arc3,y,y2,h)
plein3=plein2+2*integrate(arc3,y,y2,y3)
perim3=long2+270*(arccos((83.16-h)/135)-arccos((83.16-y2)/135))
long3=long2+270*(arccos((83.16-y3)/135)-arccos((83.16-y2)/135))

forget()
assume(h>y3)
assume(h<150)
aire4=plein3+2*integrate(arc4,y,y3,h)
plein4=plein3+2*integrate(arc4,y,y3,150)
perim4=long3+83*(arccos((108.5-h)/41.5)-arccos((108.5-y3)/41.5))
long4=long3+83*(arccos((108.5-150)/41.5)-arccos((108.5-y3)/41.5))

K=60; i=1.93/100

def deb(aire, perim) :
    return K*aire*(aire/perim/100)^(2/3)*i^(1/2)/10^4

c1=plot(deb(aire1,perim1),(h,0,y1))
c2=plot(deb(aire2,perim2),(h,y1,y2))
c3=plot(deb(aire3,perim3),(h,y2,y3))
c4=plot(deb(aire4,perim4),(h,y3,150))
show(c1+c2+c3+c4, axes_labels=["cm","m^3/s"],\
     title="débit en fonction de la hauteur")


[GaBuZoMeu]

ATTENTION ! J'AI FAIT UNE ERREUR dans l'application de la formule de Manning-Strickler. Je n'ai pas fait gaffe aux problèmes de dimension, ce qui est fort embêtant car la constante K de cette formule a une dimension.
Pour corriger, l'erreur, il faut exprimer le rayon hydraulique en m et pas en cm. ce qui revient à multiplier le résultat que j'ai donné pour le débit par 100^(1/3), à peu près 4,64. Voici le graphique corrigé :



J'ai modifié mon code SageMath plus haut pour corriger l'erreur.