[Spé] Calcul d'équivalent pour une série de fonctions

[C.N.S.]

Bonjour,
On considère la fonction suivante :


Je peine à déterminer la limite en (puis ensuite un équivalent).
La comparaison série intégrale donne de mauvais résultats et la convergence uniforme ne semble valable que sur . Des idées ? Merci d'avance.

[Ben314]

Salut, je vois rien de simple....

A la limite, y'aurais ça :
Pour tout x>0,

Et la série de droite converge normalement sur [0,+oo[ fermé en 0.

[C.N.S.]

Bien vu. Ce qui donne pour limite 0 en , mais cette formule ne fournit pas d'équivalent évident me semble t-il. Comme n'est pas a priori dérivable en zéro, ça doit reposer sur une autre astuce calculatoire...
:hein:

[aymanemaysae]

Veuillez trouver ici de plus amples informations sur cet exercice.

[Kolis]

Bien vu. Ce qui donne pour limite 0 en , mais cette formule ne fournit pas d'équivalent évident me semble t-il. Comme n'est pas a priori dérivable en zéro, ça doit reposer sur une autre astuce calculatoire...
:hein:

Attention au lien donné : le corrigé prétend à une convergence normale sur ce qui me paraît faux.

Pour l'équivalent en 0 essaies la piste suivante :
Si on a (formule de Taylor).
On en déduit par sommation (à justifier) où se majore assez facilement par une fonction négligeable en 0 devant .

La première intégrale, après changement de variables , est (me semble-t-il) équivalente en 0 à .
Correction de 16h10 : je me suis trompé et je n'ai pas d'équivalent pour l'intégrale !