Calcul domination de suites

[mehdi-128]

Bonjour,

J'ai montré :



Et :



Après de nombreux calcul je n'arrive pas à démontrer ce résultat suivant :

[mehdi-128]

Je trouve :



Je vois pas comment trouver le résultat demandé.

[Sake]

Salut,

On devrait trouver 5 + 14/(n+1) + O(1/n²) non?

[Ben314]

Salut,
Si tu veut ajouter deux développement assymptotiques, ben ça serait pas con qu'ils soient "sous la même forme".
Donc ça :

certes, c'est pas faux, mais c'est quand même pas futé du tout vu qu'il est clair que

[mehdi-128]

Merci !

En effet :



Par la suite j'aimerais multiplier :

et utiliser la propriété du cours :

et alors :

Mais le souci est que j'ai pas sous la forme :
Mais

Comment faire ?
Et dans mon livre le résultat est donné en 1/n^2 alors que ça devrait être en 1/n^4 peut être une coquille ?

[Kolis]

Bonjour !
Bien sûr qu'en multipliant et tu vas obtenir un .
Mais à quoi cela va servir puisque ton produit contient encore des et des ?

A mon avis ce que tu veux c'est faire le produit des "parties régulières" (les morceaux où il n'y a pas mention de la précision) :
en faisant ce produit tu obtiendras une précision qui ne peut dépasser la meilleure précision de tes développements de départ (les miracles sont rares en mathématiques), donc tu es obligé de corriger avec la mention d'un .

Pas difficile de comprendre que signifie que tu as un raccourci pour et suite bornée.
Prends tes expressions sous cette forme (en utilisant pour l'autre suite), fais les produits et tu verras que tu ne peux mettre un quand tu voudras "raccourcir".

[mehdi-128]

J'ai pas compris vos notions de précision et la relation avec le . Dans mon cours, on ne parle pas du tout de précision.
J'ai juste la définition suivante :

si il existe tel que :


Et : bornée

[LB2]

La précision c'est l'ordre du développement asymptotique : O(1/n), O(1/n^2), O(1/n^3), etc. (respectivement : o(1/n), o(1/n^2), o(1/n^3). Il faut comprendre que plus on augmente l'ordre, plus la partie négligée est petite, donc plus la "précision" est fine.

Ce que te dit Kolis, c'est que si tu fais le produit de deux développements asymptotiques de la forme (1+a/n + O(1/n^2))*(1+b/n+c/n^2+O(1/n^3)) par exemple, ben ton résultat sera en O(1/n^2), donc ça ne servait à rien d'avoir la deuxième parenthèse en O(1/n^3). C'est toujours le développement le plus grossier qui impose son ordre. Je pense qu'il voulait donc écrire "en faisant le produit de deux DA, on ne peut pas dépasser la moins bonne précision de départ"

[mehdi-128]

Mais alors pourquoi la propriété donnée dans le cours est :

et alors : ?

J'ai pas compris la notion de "partie négligée" ce n'est pas abordé dans mon cours.

Je sais que juste que si ça veut dire qu'il existe un rang N où la suite sera bornée mais je comprends pas le rapport avec partie négligée et précision.

Je rappelle j'en suis aux grand O et la partie développement limité n'est pas encore abordée dans mon livre.

[mehdi-128]

Et concernant l'exo je vois pas comment faire j'ai :



Et :



Quelle est la méthode pour faire le produit :

[LB2]

Ok, tu n'as vu que des O, utilisons donc seulement des O.

Effectivement ta définition du O est correcte.
En pratique, le O, on l'utilise pour (au moins) deux choses :

- en informatique, évaluer la complexité d'un algorithme : pour traiter n données, combien d'opérations l'algorithme doit-il faire? On évalue la complexité en O(n) pour un algo linéaire, O(n^2) si c'est quadratique, O(nln(n)) pour un tri un peu mieux que naïf, etc. Les exemples sont nombreux

- En analyse, pour approximer une suite au voisinage de + l'infini. On parle de "développement asymptotique". C'est une égalité du type u_n=ln(n)+1+2/n+O(1/n^2) par exemple. Ce n'est pas un développement limité (même s'il y a des liens entre ces deux notions). Par exemple, si je dis que u_n=ln(n)+O(1), et bien cela se lit : u_n est "en gros" ln(n), avec une précision de l'ordre de O(1), c'est à dire que l'écart entre u_n et ln(n) est borné. Si je pousse le développement à l'ordre suivant, u_n=ln(n)+1+O(1/n), j'ai plus d'informations. A savoir, u_n-ln(n)-1 est de l'ordre de O(1/n). On parle d'infiniment petit d'ordre 1/n, ou d'ordre 1 dans l'échelle des 1/n^k. En particulier, u_n-ln(n) converge vers 1. Si je pousse le développement encore à l'ordre suivant, j'ai encore plus d'informations, et ainsi de suite.

[LB2]

Et concernant l'exo je vois pas comment faire j'ai :



Et :



Quelle est la méthode pour faire le produit :

Tu as dis au début du fil que tu voulais faire la somme et non le produit.
Mais si tu veux faire le produit, c'est très simple :


La méthode est toujours de faire le produit avec des parenthèses présentées proprement c'est à dire :
- qui commencent par 1 car on a mis la partie principale en facteur
- développées toutes les deux au même ordre, ici O(1/n^2)

[Ben314]

Et concernant l'exo je vois pas comment faire j'ai :

Et :

Quelle est la méthode pour faire le produit :

La "méthode", ça s'appelle "développer un produit" et c'est un truc qu'on apprend à faire... au début du collège...

Le seul truc qui demande à réfléchir 15 seconde, c'est ensuite (i.e. une fois développé) de comprendre comment on va "résumer" les différents termes contenant du O(?) en un seul terme O(?).
Donc de comprendre comment ça marche des trucs du style .

Ensuite (et uniquement ensuite), quand on a parfaitement compris comme ça s'ajoutait des O(?) différents, on peut arrêter de s'emmerder à tous les écrire et n'écrire qu'un seul qui va "résumer" tous ceux qui vont apparaître dans le développement.

[mehdi-128]

@Ben

Mon livre n'explique rien à part la définition et met des exemples comme si on devait comprendre par la magie du saint esprit comment ça marche ça m'énerve les auteurs comme ça

Si je fais le calcul comme vous m'avez dit :



Et là je nage complet.

[aviateur]

Mais toi il faut te comprendre encore plus dur, ton 5/n il vient d'où?

Et puis c'était les carrés que tu multipliais au départ?

Tu peux pas repartir de la bonne expression qui est à calculer?

[mehdi-128]

Une propriété du cours dit que si :

alors

[mehdi-128]

Mais toi il faut te comprendre encore plus dur, ton 5/n il vient d'où?

Dans le développement :

[aviateur]

oui mais est ce l'expression à calculer? Ensuite je répondrai.
On ne va pas travailler sur un meli-mélo

[aviateur]

Bref de tout façon je ne vois pas où est passé ton (2+3/n)^2
Sinon tout ce qui est après ton 5/n est égal à O(1/n^2) et puis c'est tout.

[mehdi-128]

Bref de tout façon je ne vois pas où est passé ton (2+3/n)^2
Sinon tout ce qui est après ton 5/n est égal à O(1/n^2) et puis c'est tout.