Calcul différentiel : Théorème de la submersion

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Pick
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Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Pick » 18 Avr 2017, 20:30

Bonsoir à tous !

Je bloque sur un exercice dont le but est de démontrer le théorème de la submersion.

Voici son énoncé :

Soit , et F une application . On suppose que f est une submersion en a. Alors il existe un voisinage ouvert de a et un tel que l'application soit induite par une application linéaire


On se place sous les hypothèses du théorème.

1. Montrer que si le théorème est vrai, alors l'application linéaire en question est obligatoirement surjective et que donc elle peut s'écrire, dans des bases adéquates de E et F respectivement, sous la forme :



Et je bloque directement ici...

Premièrement, "l'application soit induite par une application linéaire "signifie bien qu'il existe une application linéaire L telle que sa restriction à soit ?

Ensuite, je ne vois pas comment faire... Comme f est une submersion, df(a) est surjective et on a rg(df(a))=dim(F)=m. Je ne sais pas quoi faire ensuite.

Merci d'avance à ceux qui peuvent m'aiguiller afin que je trouve comment avancer. Bonne soirée !



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Ben314
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Ben314 » 18 Avr 2017, 21:18

Salut,
Pick a écrit:Premièrement, "l'application soit induite par une application linéaire "signifie bien qu'il existe une application linéaire L telle que sa restriction à soit ?
Oui, c'est bien ça.
Pick a écrit:Comme f est une submersion, df(a) est surjective et on a rg(df(a))=dim(F)=m. Je ne sais pas quoi faire ensuite.
Ben vu que ton hypothèse porte sur df(a), ben ça serait pas con de le faire apparaitre en partant de l'unique formule que tu connait concernant L, c'est à dire (sur ) qu'il est éventuellement plus agréable d'écrire sous la forme (sur ) ce qui te dit que
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Pick
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Pick » 19 Avr 2017, 17:16

Merci, j'ai pu prouver la surjectivité et terminer la question.

Je continue d'avancer dans mon sujet, j'ai juste une question sur un détail :

Si on a une matrice par bloc de la forme :

Comment affirmer qu'elle est inversible ? Notre professeur semble ignorer qu'on n'a pas encore vu les matrices par bloc et du coup je ne sais pas comment montrer qu'une matrice par bloc est inversible.

Mimosa
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Mimosa » 19 Avr 2017, 17:28

Bonjour

Ta matrice par blocs est inversible si et seulement si est inversible. Pour le prouver, tu peux calculer le déterminant de la matrice par blocs, ou bien chercher une matrice par blocs qui multipliée par celle donnée donne la matrice identité.

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 20 Avr 2017, 18:55

Bonjour,

Je dois avoir le même sujet que Pick et je voudrais savoir ce que veut dire ce que sont des ensembles identifiables et comment prouver qu'ils le sont ?

Ayant sachant que et son supplémentaire. Ma question est : Comment exprimer en fonction de ? Et par la même occasion comment remarqué que identifiable à .

Merci d'avance !

athms54
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par athms54 » 20 Avr 2017, 19:03

Bonjour, je dois avoir le même sujet que vous ...

moi je ressent plus de difficultés sur comment écrire la différentielle de l'application \phi sous la forme d'une matrice par blocs ?


merci

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 20 Avr 2017, 19:09

Pour cette question tu fais la jacobienne de

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Ben314
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Ben314 » 20 Avr 2017, 19:14

Salut Xelo,
Ton application , c'est la deuxième coordonnée de ton application donc si tu as besoin d'une écriture symbolique (pas forcément utile), tu peut écrire que est la projection (canonique) (c'est à dire ).
Avec ce point de vue là, va de dans et tu peut éventuellement composer (à gauche) par l'injection canonique (c'est à dire ) pour avoir une fonction de dans .

Sinon, je sais pas ce que ça signifie qu'un espace vectoriel est "identifiable" à un autre.
Par contre je sais ce que signifie "isomorphe" et si c'est uniquement ça que tu veut monter, c'est évident vu qu'ils ont même dimension (sauf que c'est pas uniquement ça que tu doit montrer...)
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athms54
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par athms54 » 20 Avr 2017, 19:25

Xelo a écrit:Pour cette question tu fais la jacobienne de




la jacobienne de en tant qu'application composée ? je ne vois pas tellement de quoi ...

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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 20 Avr 2017, 19:26

Merci je n'avais pas pensé à la projection !

En revanche, rien ne nous dit que

Pour ce qui est du signe "identifiable" c'est , mais ce n'est peut-être pas le signe identifiable..
Modifié en dernier par Xelo le 20 Avr 2017, 19:43, modifié 1 fois.

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 20 Avr 2017, 19:36

La jacobienne de
Modifié en dernier par Xelo le 20 Avr 2017, 22:39, modifié 1 fois.

athms54
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par athms54 » 20 Avr 2017, 20:14

Xelo a écrit:Merci je n'avais pas pensé à la projection !

En revanche, rien ne nous dit que

Pour ce qui est du signe "identifiable" c'est , mais ce n'est peut-être pas le signe identifiable..



Ce symbole signifie isomorphes, et du coup ici en dimensions finie, il suffit qu'il ait la même dimension non ?

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 22 Avr 2017, 18:08

Oui exacte !

Je suis passé à la deuxième partie du DM (je suppose qu'on est dans la même classe...) : le théorème de l'immersion !

À la question 3, il faut écrire sous la forme d'une matrice par blocs avec avec immersion en et et son supplémentaire. On sait et


J'ai trouvé une matrice par blocs pour la différentiel :


Le problème se pose pour la question 4 où il demande le déterminant de cette matrice par blocs.. Ce que je ne sais pas faire ! Merci d'éclairer ma lanterne !

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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Pick » 22 Avr 2017, 19:55

On devrait pas plutôt trouver une matrice 2x2 ?

(Le DM est noté ?...)

athms54
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par athms54 » 22 Avr 2017, 20:34

Xelo a écrit:Oui exacte !

Je suis passé à la deuxième partie du DM (je suppose qu'on est dans la même classe...) : le théorème de l'immersion !

À la question 3, il faut écrire sous la forme d'une matrice par blocs avec avec immersion en et et son supplémentaire. On sait et


J'ai trouvé une matrice par blocs pour la différentiel :


Le problème se pose pour la question 4 où il demande le déterminant de cette matrice par blocs.. Ce que je ne sais pas faire ! Merci d'éclairer ma lanterne !




-Vous êtes à nancy ?

- je ne trouve pas la même matrice que toi : pour moi j'ai

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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 22 Avr 2017, 22:18

C'est ce que je pensais aussi qu'il fallait trouver une matrice 2*2 et pour le déterminant c'est facile apres, mais je ne sais pas comment faire pour trouver une telle matrice alors qu'on arrive pas dans un produit cartésien a l'arrivée.. Ou alors je sais pas comment faire pour diviser en 2 l'espace d'arrivée pour pouvoir faire une matrice 2*2...

Oui le DM est noté si tu es a Nancy MDR il compte pour la note de TD en calcul diff

Oui moi je suis a Nancy, perso.. Comment tu trouves ta matrice? Parce que le ca ressemble a mais le deuxieme truc ca ne ressemble pas... Enfin je ne sais pas !

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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Pick » 22 Avr 2017, 23:48

Bah l'ensemble d'arrivée c'est F et F est isomorphe à E x F2 tu peux utiliser ça non ?

Je fais géométrie et j'ai encore le dm dans cette matière à finir pour lundi mdr je me remets sur le sujet de calcul diff lundi.

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 23 Avr 2017, 14:32

Oui! Bien joué !

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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 24 Avr 2017, 10:54

Bon j'ai
Donc

Question 4 : montrer que c'est inversible.. Bah faut que mais rien ne nous dit ça..

Xelo
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Re: Calcul différentiel : Théorème de la submersion

par Xelo » 24 Avr 2017, 14:51

Comment écrire en fonction de ?

 

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