Je bloque sur un exercice dont le but est de démontrer le théorème de la submersion.
Voici son énoncé :
Soit , et F une application . On suppose que f est une submersion en a. Alors il existe un voisinage ouvert de a et un tel que l'application soit induite par une application linéaire
On se place sous les hypothèses du théorème.
1. Montrer que si le théorème est vrai, alors l'application linéaire en question est obligatoirement surjective et que donc elle peut s'écrire, dans des bases adéquates de E et F respectivement, sous la forme :
Et je bloque directement ici...
Premièrement, "l'application soit induite par une application linéaire "signifie bien qu'il existe une application linéaire L telle que sa restriction à soit ?
Ensuite, je ne vois pas comment faire... Comme f est une submersion, df(a) est surjective et on a rg(df(a))=dim(F)=m. Je ne sais pas quoi faire ensuite.
Merci d'avance à ceux qui peuvent m'aiguiller afin que je trouve comment avancer. Bonne soirée !