Calcul differentiel

[SamAz]

Bonjour les amis, j'aimerais savoir si ma reponse est correcte dans un exercice de calcul differentiel.
question:
Soit E un espace de Hilbert de produit scalaire noté <. , .>. On definit l'application f:E->R par:
f(x)=<x,x>^2 - <a,x> , a etant un element non nul de E. et fixé.
Calculer Df(x)(h), et D2f(x)(h,k).
Mes reponses:
Df(x)(h)=4<x,x><x,h>-<a,h>
D2f(x)(h,k)=4<x,h>^2 + 2<x,x><h,k>
Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Comment as-tu calculé ton ?

[SamAz]

Bonjour,
La D2f(x)(h,k) est la differentielle de l'application qui à x fait correspondre (Df(x)(k)) le tout appliqué à h.
De plus, j'aimerais savoir comment trouver le pt critique?
Si j'ecris: Df(x)(h)=0 pour tout h,
J'aurais quelque chose de la forme: 4x<x,x>=a. Comment trouver x?

[GaBuZoMeu]

Je ne te demande pas la définition, je te demande ton calcul. Si tu ne veux pas le donner, je ne peux pas dire où sont tes erreurs. Et des erreurs, il y en a. La preuve : ce que tu trouves n'est pas symétrique en .

[SamAz]

d'accord. voila mon calcul:
Df(x)(h)=4<x,x><x,h>-<a,h>. Le terme <a,h> est constant et ne depend pas de x donc je l'ignore en calculant D2f.
puis, je differencie l'application qui a x donne: 4<x,x><x,k>=4<x,k> ||x||^2 , et je j'applique a h. produit de 2 termes, le premier est lineaire en x, le second, ||x||^2, est tel que sa differentielle appliquee a h s'ecrit: 2<x,h>.
donc soit: p(x)=4||x||^2 et q(x)=<x,k>
D2f(x)(h,k)=Dp(x)(h).q(x)+p(x).Dq(x)(h)
=8<x,h><x,k>+4||x||^2.<h,k> (si cela est correcte, je te remercie, je vois bien mon erreur de calcul).
mais j'aimerais, de plus, si ma Df(x)(h) est correcte, savoir comment trouver x qui l'annule pour tout h.
merci bcp

[GaBuZoMeu]

Tu vois, rien de tel que d'écrire explicitement ce qu'on fait pour trouver ses erreurs !

Remarque qu'un vecteur tel que est colinéaire à ...