Calcul différentiel

[dyouk38]

Bonjour je suis actuellement en L3 mathématiques, et j’ai un exercice en calcul différentiel où je bloque un peu.

Le sujet de l’exercice est : « On considère l’espace de Banach E = C1([−1, 1], R) muni de la norme ||f|| = sup (|f(x)| + |f′(x)|).
|x|<=1
On considère les applications (longueur) L : E → R et (aire) A : E → R définies pour tout f ∈ E par :
L(f ) =intégrale de -1 a 1 de sqrt(1 + f ′ (t)2) dt et A(f ) = intégrale de -1 à 1 de f (t) dt.

Montrer que L et A sont différentiables et calculer leurs différentielles en un point f ∈ E.

A vrai dire nous n’avons pas encore traiter de d’exercices avec des intégrales donc je suis un peu perdue.

Pour L j’ai commencé par l’écrire sous forme composées L=f1°f2°f3°f4 avec f1 l’intregration, f2 la racine carrée de (1+f), f3 le carre et f4 la dérivation. Dans un exercice nous avions fait cette méthode mais nous étions en dimension finie. Si quelqu’un veut bien me donner quelques conseils ce serait sympa. Merci d’avance.

[mathelot]

bonsoir,
est linéaire. Qu'en déduit-on pour sa différentielle ?

[dyouk38]

Bonsoir, la différentielle d’une application linéaire est l’application elle même, mais ne faut-il pas dire qu’elle est continue ou bornée ?
La différentielle de A est A elle-même.

[dyouk38]

Comme on passe au sup dans la norme, on a que ||A||=< 3 c’est ça ?

[mathelot]

[dyouk38]

Euh oui 2 pardon, merci !

[mathelot]

Pour L j’ai commencé par l’écrire sous forme composées L=f1°f2°f3°f4 avec f1 l’intregration, f2 la racine carrée de (1+f), f3 le carre et f4 la dérivation. Dans un exercice nous avions fait cette méthode mais nous étions en dimension finie. Si quelqu’un veut bien me donner quelques conseils ce serait sympa. Merci d’avance.

oui, tu as raison, c'est comme celà qu'il faut procéder; j'ai un peu de mal à différentier tout celà.

[mathelot]

je ne suis pas sûr du tout, que faut-il en penser ?

la différentielle serait l'application linéaire de E dans R:

[dyouk38]

Euh je ne vois pas trop d’où sort tout ça mais merci quand même !

[mathelot]

c'est la composée des différentielles de la composée des applications:

[dyouk38]

Ah oui d’accord ! Je vois maintenant merci beaucoup !