Calcul de déterminant

[titi1]

bonjour, je me suis lancé dans le calcul de quelque déterminants mais je me pose encore quelques questions :
tout d'abord pour le determinant de la matrice
1 i 1+i
-i 1 0
1-i 0 1
j'ai trouvé après quelques arrangements : det = -2
mais je voulais savoir si j'avais le droit de multiplier l'une des lignes ou colonnes par i qui est un complexe pour simlplifier les calculs?
d'autre part , je me suis lancé dans le calcul du determinant de la matrice
1 1 1
1 a a²
1 a² a
après quelques arrangements je trouve que le determinant vaut a(a-1)²(2+a) on me dit par la suite que a = exp(2i*Pi/3) mais je n'arrive pas à réduire mon expression finale en complexe. Me serai-je trompé dans mon calcul?

[mathelot]

bonjour,

le déterminant est une forme linéaire par rapport à chaque ligne , considérée
séparémment et par rapport à chaque colonne.
De plus, elle est alternée, ie, elle s'annule dès que deux lignes sont égales ou proportionnelles. En conséquence, si l'on multiplie une ligne par i,
le déterminant est multiplié par i. Par contre, on ne change pas la valeur du déterminant en ajoutant à une ligne, une combinaison linéaire d'autes lignes.

Je trouve que

[nuage]

Salut,
pour ta première question les complexes sont des nombres comme les autres. Et je trouve le même résultat que toi.

Pour le 2° discriminant je trouve l'opposé de ton résultat (mais je peux aussi me tromper).
Pour le simplifier avec il est plus simple, à mon avis de développer le produit puis de se souvenir que

[mathelot]

Pour le calcul :
a est le nombre complexe que l'on appelle j habituellement.
il vérifie donc les relations algébriques:









Cordialement,

[titi1]

merci pour cette réponse je ne savais pas que j était un nombre remarquable mais c'est très intéressant car ça simplifie pas mal de choses.