Calcul (Dérivées et Continuité)

[ElTopo]

Voilà une question qui me donne bien des maux de tête. À vrai dire, c'est plutôt la première partie qui m'embête. Je ne sais pas trop m'y prendre pour prouver la continuité de la fonction. Votre aide et vos explications sont très appréciés. Merci d'avance!


Soit la fonction f(x,y) = {(x³ + 3xy² - 5y³) / (2x² + y²), si (x,y) ;) (0,0) ; 0, si (x,y) = (0,0)}

a)Est-ce que f est continue à l'origine (0,0)?
b)Calculer les dérivées partielles suivantes (si elles existent):

;)f / ;)x |(0,0)

;)f / ;)y |(0,0)

[Chimerade]

Voilà une question qui me donne bien des maux de tête. À vrai dire, c'est plutôt la première partie qui m'embête. Je ne sais pas trop m'y prendre pour prouver la continuité de la fonction. Votre aide et vos explications sont très appréciés. Merci d'avance!


Soit la fonction f(x,y) = {(x³ + 3xy² - 5y³) / (2x² + y²), si (x,y) (0,0) ; 0, si (x,y) = (0,0)}

a)Est-ce que f est continue à l'origine (0,0)?
b)Calculer les dérivées partielles suivantes (si elles existent):

f / x |(0,0)

f / y |(0,0)

Je pose ,






L'expression tend vers 0 quand tend vers 0, quel que soit , fixe ou variable. Quant à l'expression , elle est bornée.
La fonction est donc continue en (0,0)
Pour avoir les dérivées partielles, il suffit de faire tendre x vers 0 avec y=0, et y vers 0 avec x=0 :





Sauf erreur ...

[fonfon]

salut ,moi je fais comme ça (cours de licence) mais chimerade a bon aussi:

f est clairement continue pr (x,y);) (0,0) (car composée de fct polyn.)

Mq f est continue en (0,0):
pr (x,y);) (0,0):
|f(x,y)-f(0,0)|= |x^3+3xy^2-5y^3|/|2x^2+y^2
<=(|x|x^2+3|x|y^2-5|y|y^2)/2x^2+y^2
<=[ |x|(x^2+y^2)+ |y|(x^2+y^2)]/2x^2+y^2
<= |x|+|y| ça tend vers 0 qd (x,y) td vers (0,0)

donc f est continue en (0,0)