Calcul dans un anneau commutatif non integre

[fou-de-math]

S.V.P Je cherche à savoir si nous avons un anneau commutatif mais non integre. quelle sont les précautions qu'il faut prendre pour effectuer des calculs et manipuler des équations dans cet anneau et merci.

[Joker62]

Bonjour,

Z/6Z est un anneau commutatif mais non intègre.

2*3 = 0

[fou-de-math]

Est ce que cela veut dire qu'on n'as pas le droit de faire des calculs. Ou on peut les faire à certaines conditions?

[Joker62]

On a le droit de faire n'importe quels calculs.

Le problème, c'est qu'on ne peut plus utiliser le célèbre : Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

Donc en fait, on a plus de mal avec les équations en général.

[fou-de-math]

Est ce qu'on peut fixer l'ensemble des éléments pour lesquels x*y=0 n'implique pas que x=0 ou y=0

[Joker62]

C'est ce qu'on appelle les diviseurs de 0.

Plus généralement, si tu travailles avec des modules, on parle d'élément de Torsion (Il me semble)

[fou-de-math]

Merci Jocker62. Au fait, dans mon sujet je me suis tombé sur un anneau commutatif non intègre et dans lequel je dois effectuer un certain nombre de calculs. Merci encore

[alm]

Salut

C'est ce qu'on appelle les diviseurs de 0.

Plus généralement, si tu travailles avec des modules, on parle d'élément de Torsion (Il me semble)

Tu as raison Joker62 si on considère l'anneau commutatif comme un -module
Cependant on peut aussi le considérer comme un -module et là les diviseurs de n'ont rien à avoir avec les éléments de torsion : par exemple ( entier naturel premier ) est un corps , donc il est sans diviseurs de zéro, cependant considéré comme -module , tout élément est de torsion.