Calcul de la borne supérieure

[Georges10]

Bonsoir à tous

J'ai un exercice qui me bloque, je ne sais pas comment m'y prendre.
On demande de calculer sup | z^3 - z + 2 |
Z appartient à U = { z appartenant à C, | z | = 1 } = { e^iteta, teta appartenant à R } = { z appartenant à C, zz(bar)=1 }

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour D'abord tu peux commencer par justifier que le sup est et qu'en fait c'est un max.

[Ben314]

Salut,
Vérifie que, si , alors est un polynôme (de degré 3) en puis cherche son maximum lorsque décrit [-1,1].

[pascal16]

j'ai essayé de tracer ça sous geogebra. L'interface de geogebra est de moins en moins cool, a priori, on est à un peu moins de racine(15)

[Ben314]

j'ai essayé de tracer ça sous geogebra. L'interface de geogebra est de moins en moins cool, a priori, on est à un peu moins de racine(15)

Le max, c'est obtenu pour

[Georges10]

Salut,
Vérifie que, si , alors est un polynôme (de degré 3) en puis cherche son maximum lorsque décrit [-1,1].

Bonsoir je l'ai fait et je trouve
= 8 -16 - 4 +16

[Georges10]

j'ai essayé de tracer ça sous geogebra. L'interface de geogebra est de moins en moins cool, a priori, on est à un peu moins de racine(15)

Le max, c'est obtenu pour

Oui c'est bien ça, j'ai moi même trouver le résultat, mais avec des petites techniques, c'est pourquoi je cherche une méthode plus logique pour obtenir le résultat
Merci

[Ben314]

Qu'est ce que tu veut dire par une "méthode plus logique" ?
Quelle méthode a-tu employé et en quoi est elle illogique ?

[Georges10]

@Ben314

Svp comment avez vous su que si on posait z = e^iteta
Alors, on aurait un polynôme de degré 3 en cos x ?
Merci d'avance !

[Georges10]

Qu'est ce que tu veut dire par une "méthode plus logique" ?
Quelle méthode a-tu employé et en quoi est elle illogique ?

Ma méthode est que j'ai remarqué que si | z |= 1 alors z est une racine n ieme de l'unité . Donc j'ai testé l'expression les 6 premiers racines n ieme de 1 et j'ai vu que la racine n ieme de1 qui avait la grande valeur par est -1/2 + i racine3/2

[Georges10]

Autrement dit, j'aimerais savoir si on peut passer par des démonstrations pour aboutir au résultat.

[Ben314]

Svp comment avez vous su que si on posait z = e^iteta
Alors, on aurait un polynôme de degré 3 en cos x ?
Merci d'avance !

Parce que dans il est clair que quand on développe les "purs carré" vont se simplifier : et et il est aussi clair que le double produit vaut .
Donc avant même de se lancer dans les calculs, vu les termes qu'il va rester, on peut prédire que ça va être de degré 3 en .
Et comme un polynôme de degré 3 a une dérivée de degré 2 dont on sait parfaitement déterminer les racines, ça prouve que la méthode donnera sans coup férir la valeur exacte du maximum de la fonction.

[Ben314]

Ma méthode est que j'ai remarqué que si | z |= 1 alors z est une racine n ieme de l'unité.

Ca, c'est pas "illogique", mais bien plus simplement... c'est faux.
Par exemple est de module égal à 1, mais tu peut bien l'élever à la puissance (entière et non nulle) que tu veut, ça fera jamais 1. Donc quelque soit n, c'est pas une racine n-ième de l'unité.

Ensuite, concernant la suite de ta "preuve", ben faudrait peut-être avoir un peu de jugeote : un cercle, ça contient bien évidement une infinité de points donc pour chercher quel point du cercle maximise une certaine fonction, d'attaquer le problème en ne faisant que tester des points particulier du cercle ça a peu de chance d'aboutir à une preuve (éventuellement, ça peut donner des idées, mais pas plus...)

[Pseuda]

Bonsoir,

Une autre méthode est de remarquer que est maximum pour maximum.

on développe, on exprime en fonction de , et on pose .

On obtient une fonction polynôme du 3ème degré en , à étudier. C'est un peu plus long.

[aviateur]

Bonjour
@pseuda Je ne trouve pas cela forcément plus long. Je crois que les calculs sont analogues puisque
En effet si on fait les calculs en utilisant et (cela revient à écrire en fonction de )
Cela donne pour
et en remplaçant en fonction de x :
Remarque: Application de tout cela: soit
Soit z une racine qcq de h. Que dire de ? (sans résoudre explicitement h(z)=0 )

Ou alors trouver le min et le max de |h(z)| sur le disque D fermé de centre 0 et de rayon 1.

[Georges10]

Bonsoir à tous
Ce que je ne comprend pas en réalité, c est pourquoi est ce que vous avez élevé au carré pour travailler

[aviateur]

Bonjour Et bien alors que et c'est plus sympa à manipuler.
Et puis est maximum qd est maximum.

[Georges10]

Et puis est| f ( z ) | est maximum qd | f ( z ) |^2 est maximum car x |---> x² est strictement croissante , n'est ce pas ?
Merci

[aviateur]

oui

[Georges10]

Ok merci beaucoup !
Vraiment merci , grâce à vous j'ai compris, bonne soirée.