Calcul de l'aire sous un segment parabolique

[Guillermo]

Bonjour à tous,
À partir d'un exercice de mon livre de math, voici mon calcul tentant d'encadrer l'aire sous un segment parabolique (la fonction de la parabole est f(x) = 2x²+1) : https://1drv.ms/i/s!AttAtWB2lZBp3Vk069m ... L?e=BUac8u
Ma réponse est sn < [(2b³)/3] + [b/n] < Sn, mais la réponse de mon livre est sn < [(2b³)/3] + [b] < Sn. Je n'arrive pas du tout à voir où est mon erreur...
Ma démarche de calcul :
1) D'abord on trouve la formule de l'aire du rectangle de largeur b/n et d'hauteur (b/n).[2(kb/n)²+1]
2) Ensuite, étant donné que sn = (b³/n³).[1²+2²+3²+...+(n-1)²] et que Sn = (b³/n³).(1²+2²+3²+...+n²), il faut multiplier les deux inégalités par (2b³/n³) et ajouter b/n pour obtenir sn et Sn.
3) Je trouve enfin sn < [(2b³)/3] + [b/n] < Sn
N'hésitez pas à me demander de reformuler ou plus d'explications si c'est pas clair !
Merci beaucoup à tous et bonne soirée

[Ben314]

Salut,
Les aires des petits rectangle, tu les ajoutes pour obtenir les valeur de et de .
Par exemple, pour , le premier rectangle à une aire de , le second une aire de , etc . . . et le dernier une aire de .

Donc

Dans lequel il y a effectivement le de ta réponse, mais par contre, le , il n'est pas qu'une seule fois dans la somme . . .

[Guillermo]

Merci Ben314 ! J'ai mieux compris, mais je n'ai pas encore tout à fait compris...
Voici mon calcul :
1) Les deux inégalités de départ : 1²+2²+...+(n-1)² < n³/3 < 1²+2²+...+n² ;
2) Je multiplie les deux inégalités par 2b³/n³ : (2b³/n³).(1²+2²+...+(n-1)²) < (2b³/n³).(n³/3) < (2b³/n³).(1²+2²+...+n²) ;
3) Je distribue : (2b³/n³).1²+ (2b³/n³).2² + ... + (2b³/n³).(n-1)² < 2b³/3 < (2b³/n³).1² + (2b³/n³).2² + ...+ (2b³/n³).n² ;
4) J'ajoute exactement n fois le (b/n) aux deux inégalités : (2b³/n³).1² + (2b³/n³).2² + ... + (2b³/n³).(n-1)² + n.(b/n) < 2b³/3 + n.(b/n) < (2b³/n³).1² + (2b³/n³).2² + ... + (2b³/n³).n² + n.(b/n) ;
5) Ce qui revient à écrire : [(2b³/n³).1² + b/n] + [(2b³/n³).2² + b/n] + ...+ [(2b³/n³).(n-1)² + b/n] + b/n < 2b³/3 + b < [(2b³/n³).1² + b/n] + [(2b³/n³).2² + b/n] + ... + [(2b³/n³).n² + b/n] ;
6) Autrement dit : sn + b/n < 2b³/3 + b < Sn
Le "+ b/n" en rouge, je ne sais pas comment m'en débarrasser, aurais-tu une idée ? Et si j'ajoute exactement n-1 fois le "+ b/n", du coup j'aurais un problème de l'autre côté puisqu'il me manquera un "+ b/n" pour que le tout fasse Sn...
Merci encore dans tous les cas !!

[Ben314]

Tu as pas donné la définition exacte de et de , donc je peut pas être sûr à 100%, mais à mon avis, l'un comme l'autre, c'est la somme des surfaces de rectangles et tu as

qui contient bien termes donc en particulier fois le terme
(par contre le du début ne sert à rien et on peut l'oublier, mais pas le qui va avec)

Et si c'était pas le cas, de toute façon tu aurais qui permetrrais quand même de conclure, mais je mettrais fort à parier que c'est ma première hypothèse la bonne.

[Guillermo]

Merci effectivement ta première hypothèse était la bonne, j'ai totalement compris maintenant