Boule de L2

[marwaneabdelbari]

Salut
j'ai besoin d'une démonstration du lemme suivant,
la boule unité de l'espace L2 est d'intérieur vide par apport a la topologie de L-infini.

[girdav]

Tu te places dans quel espace mesuré ?

[marwaneabdelbari]

Tu te places dans quel espace mesuré ?

un ouvert de Rn, muni de la tribu de Borel.

[Judoboy]

Si ton ouvert a une mesure M, la boule de centre 0 de rayon 1/M de L infini est incluse dans la boule unité de L2.

[marwaneabdelbari]

Si ton ouvert a une mesure M, la boule de centre 0 de rayon 1/M de L infini est incluse dans la boule unité de L2.

Tu veut dire que la boule unité de L2 contient un élément de L-infini, qui est la fonction caractéristique correspond à la boule de centre 0 et de rayon 1/M. c ça?

[Judoboy]

Non je donnais un contre exemple, on a une boule de centre 0 de rayon >0 (pour la topo L-infini) qui est incluse dans ton ensemble donc il n'est pas d'intérieur vide.

[marwaneabdelbari]

Non je donnais un contre exemple, on a une boule de centre 0 de rayon >0 (pour la topo L-infini) qui est incluse dans ton ensemble donc il n'est pas d'intérieur vide.

Merci, pour moi aussi, c m apparaitre très bizarre cette proposition, je la trouve dans un livre d'optimisation.

[Judoboy]

En fait j'ai répondu sans trop réfléchir, si la mesure de ton ouvert est infini la propriété est vraie. T'as qu'à voir que la boule ouverte de centre 0 rayon r (pour L-infini) contient un élément qui n'est pas dans L2, par exemple la fonction constante égale à r.

[girdav]

Tout doit se jouer au niveau de l'inclusion de dans .

[Judoboy]

Tout doit se jouer au niveau de l'inclusion de dans .

?

Si la mesure de l'ensemble est infinie on n'a aucune inclusion entre L2 et Linf...

[girdav]

?

Si la mesure de l'ensemble est infinie on n'a aucune inclusion entre L2 et Linf...

Dans le cas de la mesure de Lebesgue, c'est clair. Sinon, on a des cas dégénérés où si est non vide.

Ce que je veux dire, c'est que si est d'intérieur non vide pour la norme du supremum essentiel alors (et on a la réciproque).