Boule ouverte et fermée

[mehdi-128]

Bonsoir,
On se place dans un espace normé.

Soit (boule fermée de centre a et de rayon r)

Je veux trouver une suite qui appartient à la boule ouverte de centre a et de rayon r et qui converge vers x.

Merci.

[pascal16]

par définition, pour tout n, il existe un boule Bn de rayon 1/n et de centre x telle que l'intersection de ta boule ouverte de Bn soit non vide.
Soit Un, un élément de cette intersection non vide.

Un, n€N est donc une suite d'éléments de la boule ouverte qui converge vers x car ||Un-x||<=1/n.

[mehdi-128]

Rien compris.

[mehdi-128]

Comment montrer que : ?

On a déjà :

[Ben314]

Comment montrer que : ?

Par définition B(a,r) c'est les x de E tels que ...
Donc pour vérifier que xn est dans B(a,r) il suffit de vérifier que ...

[mehdi-128]

Comment montrer que : ?

Par définition B(a,r) c'est les x de E tels que ...
Donc pour vérifier que xn est dans B(a,r) il suffit de vérifier que ...

B(a,r) c'est les x de E tels que

Il faut montrer que : soit :

Or :

Donc : et

[Ben314]

C'est presque ça :

Or :

modulo que :
- En rouge, c'est un "inférieur ou égal" vu que ce qu'on sait concernant x, c'est qu'il est dans la boule fermée de centre a et de rayon r.
- En bleu, on peut mettre un "strictement inférieur" vu que n<n+1 (strict) et que r>0 (strict).