Bornes supérieures et inférieures

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Un sup (respectivement inf) demi-treillis est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques x et y admettent toujours une borne supérieure (respectivement inférieure).

Un sup (respectivement inf) demi-treillis complet est un sup (resp. inf) demi-treillis dans lequel tout sous-ensemble admet une borne supérieure (respectivement inférieure).

1) Montrer que dans un sup (respectievement inf) demi-treillis tout sous-ensemble fini admet une borne supérieure (resp. inférieure).

2) Déterminer lesquels parmi les ensembles suivants sont sup (resp. inf) demi-treillis et dire s'ils sont complets:

, ordonné par la relation usuelle: ;

, ordonné par la relation: divise ;

est l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 2, ordonné par la relation usuelle: divise ;

est l'ensemble des nombres rationnels strictement inférieurs à ordonné par la relation usuelle: ;

est l'ensemble des parties d'un ensemble , ordonné par la relation d'inclusion;

, ordonné par la relation d'inclusion;

, ordonné par la relation d'inclusion.


Pour la 1) j'ai trouvé, mais pour la 2) je n'arrive déjà pas à montrer que est inf demi-treillis complet.

[fahr451]

bonsoir

je présume que c'est tout sous ensemble non vide


dans N tout sous ensemble non vide a un plus petit élément qui est ipso facto la borne inf

[legeniedesalpages]

Bonsoir fahr451,

oui justement, je me disais aussi qu'il y avait un problème pour l'ensemble vide.

dans N tout sous ensemble non vide a un plus petit élément qui est ipso facto la borne inf

oui mais justement, ça traduit le fait que est un inf demi treillis complet, donc je pense qu'il faut le montrer ici, non?

Je pensais montrer d'abord que

est un sup demi treillis,
ensuite que est un inf demi-treillis,
après que pour une partie quelconque A non vide, l'ensemble de ses minorants est non vide et fini, donc admet un plus grand élément qui est inf A, donc est un inf demi-treillis complet.

Après je ne pense pas que est un sup demi-treillis complet.

Je ne sais pas si mon raisonnement est trop compliqué et qu'il y a possibilité de faire plus simple, et surtout si il tient la route?

[fahr451]

on est censé connaitre les entiers ou on refait tout ? (je choisis la première solution)


N n 'a pas de borne sup car pas de plus grand élément donc pas sup demi treillis complet

[legeniedesalpages]

on est censé connaitre les entiers ou on refait tout ? (je choisis la première solution)


N n 'a pas de borne sup car pas de plus grand élément donc pas sup demi treillis complet

ah oui exact, je peux dire que pour tout entier naturel a, a admet un successeur , or .

Merci fahr :we:

[legeniedesalpages]

Pour , je n'arrive pas à montrer que n'est pas un sup demi-treillis complet.

En fait je pensais prendre une suite d'éléments de qui tend vers , pour montrer que la borne supérieure est nécessairement supérieure ou égal à .

Mais je ne vois pas comment prendre une telle suite?

[fahr451]

bonjour


la suite des approximations décimales par défaut de rac(2) est un exemple


u(n) = E (10^n rac(2) ) / 10^n

[legeniedesalpages]

bonjour fahr, j'y avais pensé mais je ne savais pas si tous les termes de cette suite sont strictement inférieurs à

[fahr451]

s'il y avait égalité rac(2) serait décimal

[legeniedesalpages]

ah oui pardon j'avais pas tilté que pour tout entier , on a pas .

Merci fahr451.