Bornes des coefficients d'une surface polynomiale

[firefighter90]

Bonjour,

J'ai un nuage de points (xi,yi,zi) auxquels je voudrais ajuster un polynôme d'ordre 4.
Analytiquement, cela revient à trouver les 15 coefficients du polynôme en résolvant le système linéaire A*[X]=[Z], donc à inverser la matrice A qui sera carrée en sélectionnant 15 points.

Problème 1 : Connaissez-vous une méthode pour inverser la matrice A ? (numériquement sous Maltab un message me dit qu'elle est mal conditionnée). Dans le cas de courbes 2D, c'est une matrice de Vandermonde facile à inverser analytiquement.

Problème 2 : En sachant que tous les points sont tels que lb<zi<ub, on peut écrire que [lb]<A*[X]<[ub] . Cela permet de déduire des bornes pour les coefficients car inv(A)*[lb]<[X]<inv(A)*[ub]. Il faut donc là aussi inverser A, mais connaissez vous une autre méthode pour trouver les bornes des coefficients en connaissant les bornes du polynôme dans un intervalle donné ?

[pascal16]

tu ne cherches pas la solution passant par tous les points car elle n'existe pas dans le cas général, mais une solution optimale selon une norme donnée.

Il y a une optimisation matricielle par la méthode des moindres carrés qui est pour un pol de degré 4, un système 5*5.
cf "optimisation système matriciel"

[firefighter90]

tu ne cherches pas la solution passant par tous les points car elle n'existe pas dans le cas général, mais une solution optimale selon une norme donnée.

Il y a une optimisation matricielle par la méthode des moindres carrés qui est pour un pol de degré 4, un système 5*5.
cf "optimisation système matriciel"

Il s'agit dans le cas 3D d'un polynôme multivarié P(x,y), d'où une matrice 15*15 pour un polynôme de degré 4.
Résoudre A*X=Z revient à appliquer les moindre carrés, mais la difficulté ici est d'inverser A. Celle-ci dans le cas simple 2D est une matrice de Vandermonde dont il existe une formule analytique pour l'inverser.

[fatal_error]

hi,

mais tu peux pas forcément inverser A, et ca tient aussi avec vandermonde.
par ex dans https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix, tu as la condition explicite que les x_i sont différents.

ici, si tu prends bêtement (0,0,1) pour tout (x_i,y_i,z_i) ben...t'as plusieurs problèmes:
1) plein de colonnes de A qui sont nulles et donc A n'est _pas_ inversible (rang < 15)
2) pas sûr de comprendre pourquoi 15 et pas 16, car il faut quand même prendre en compte le coefficient constant du polynome (pour adresser le cas d'un point (0,0,1) justement))
donc j'aurais tendance à mettre des 1 dans la première colonne, et avoir un X de taille 16, pour justement adresser l'offset a_00 correspondant au terme constant du polynome

enfin, tu peux regarder
https://fr.mathworks.com/help/matlab/ref/pinv.html
tu voies que tu peux écrire A\Z ou pinv

mais si tu suis la voies de pascal, tu peux minimiser norm(Ax-b) genre avec lsqr https://fr.mathworks.com/help/matlab/ref/lsqr.html