Borne supérieure

[smartynina]

Bonjour,

Je suis un peu perdue sur la propriété de la borne supérieure ( toute partie non vide admet une borne supérieure).

Sur un site je trouve ça :

Définition.
R est défini comme devant satisfaire aux conditions suivantes :

(i) R est un corps totalement ordonné,
(ii) R est une extension de Q,
(iii) toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure.

La propriété est donc vérifiée par construction dans ce cas.

Je trouve en revanche dans beaucoup d'ouvrages :

propriété : Toute partie non vide de R admet une borne supérieure ( admis).

Le "admis" sous-entend donc qu'il est possible de le démontrer.

Pouvez-vous m'éclairer ?

[Doraki]

Ca dépend de l'approche de l'ouvrage.

Soit tu définis R axiomatiquement, en disant "On décide que R est un ensemble vérifiant telle et telle propriété, et on admet qu'un tel ensemble existe", puis tu étudies R en utilisant ces 3 propriétés, sans avoir besoin d'une description précise de ce qu'est un nombre réel.

Soit tu donnes une construction explicite de R (suites de cauchy, coupures de dedekind, ou autres),
puis tu dois alors démontrer que ce que tu as construit vérifie les 3 propriétés données.

[Elerinna]

propriété : Toute partie non vide de R admet une borne supérieure ( admis).

Cette construction ensembliste de (par les coupures de Dedekind sur ) se révèle équivalente à la complétude d'un corps archimédien via les suites de Cauchy. Une synthèse sur les nombres réels en carte heuristique est évocatrice de leur couple de définitions alternatives (en vision analytique ou algébrique)...:id: