Borne Sup

[joq35]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour résoudre un exo.
Soit l'ensemble A = avec x>0.

On souhaite montrer que A est une partie non vide et majorée de Q+. (pas de soucis particuliers)
On montre ensuite qu'elle n'admet pas de borne sup dans Q.

Supposons que M soit la borne sup de A.
Il y a 3 cas à regarder :
- Si M^2 = 2, alors M = racine(2). C'est impossible car dans ce cas, M ne serait pas un rationnel.
- Si M > racine(2) : comme Q est dense dans R, il y a au moins un rationnel compris entre racine(2) et M. Si on note q ce rationnel, alors q<M et est un majorant de A. C'est donc impossible car cela contredit la définition de la borne sup.
- Si M < racine(2) : on trouve un élément de Q tel que Q = M+s appartient à A. On conclut ensuite.

Par contre, pour le cas 2, j'aurais voulu trouver une valeur de q, comprise entre racine de 2 et M pour faire cette démonstration, pour ne pas parler de densité. J'ai du mal comment je pourrais faire. Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci à vous

[lyceen95]

Tu recherches q entre racine(2) et M , mais tu t'imposes q rationnel. Pourquoi ?
Prend q=(racine(2)+M)/2 , et l'affaire est dans le sac.

[joq35]

En fait, on cherche à montrer que A n’admet pas de borne sup dans Q+. Voilà pourquoi je cherche q rationnel. Dans R, 2 serait la bonne sup de A.

[lyceen95]

Oui, mais le q que je propose serait aussi un majorant de ton ensemble A, et plus petit que M.
Donc M n'est pas la borne sup.
CQFD si j'ose dire.

La borne sup est le plus petit des majorants, (réel , rationnel ou pas). Et on veut montrer que ce nombre n'est pas rationnel.
Et toi, tu reformules ça :
La borne sup est le plus petit rationnel majorant, et tu veux montrer qu'il n'existe pas. Ou un truc comme ça.

[joq35]

Ok effectivement j’ai peut-être mal compris cet exo … je vais reprendre demain, merci.