La borne sup et la limite d'intégrale

[benekire2]

Bonsoir tout le monde,

Il s'agit du problème suivant,

f est une application de R dans R continue et positive. a et b deux réels. n un entier.

Montrer que :

Personnellement la seule méthode que je connaisse c'est de majorer assez simplement puis de couper les epsilons , existe-il des méthodes particulièrement élégantes ou alors simplement différentes ou moins pénibles et techniques ?

Je vous remercie :happy3:

[Nightmare]

Salut,

la méthode que tu proposes est souvent la plus naturelle. Passer par les "epsilon" est certes souvent très calculatoire, mais c'est aussi souvent le raisonnement le plus simple.

Sinon, on aurait pu raisonner ainsi : En notant et , I est majoré par 1, donc aussi. Reste à montrer que c'est aussi minoré par 1, pour ça, on peut utiliser la caractérisation de M, à savoir que quel que soit epsilon fixé, il existe un intervalle [a',b'] inclus dans [a,b] sur lequel . Avec ça, tu peux conclure.

:happy3:

[benekire2]

Ok je vais voir, merci nightmare :zen:

[Nightmare]

Tiens, que vaut sous les même hypothèses sur f ?

Edit : On va quand même rajouter l'hypothèse que f ne s'annule pas.

[Ben314]

Oui, mais pour x<1 c'est plus une norme (ce qui n'a absolument rien à voir avec la question... :triste: )

[Nightmare]

Effectivement, le problème sous des airs de ressemblances avec le précédent a un fond bien différent.

[benekire2]

J'ai pas regarder celui que tu vient de poser, mais je me demande si justement sous ce problème initial il n'y avait pas quelque chose de caché derrière ...

[Ben314]

Soit dit en passant, ça serait pas plus cohérent avec ça

Tiens, que vaut avec f>0

comme énoncé ?

[Nightmare]

En voyant l'espace des fonctions continues sur un compact [a,b] comme un espace vectoriel, les applications sont des normes pour , ie qu'elle permet de "mesurer la longueur" d'un vecteur f de l'espace, au sens où elle vérifie ce qu'on attend de quelque chose qui mesure la longueur, à savoir que si et ssi , pour un scalaire lambda et .

Tu vérifies que l'application est aussi une norme, et est ainsi notée car, comme tu l'as montré, .

:happy3:

[Nightmare]

Soit dit en passant, ça serait pas plus cohérent avec ça
comme énoncé ?

Si mais dans ma tête a=1 et b=0. :happy3: