Borne sup chez nos amis les complexes.

[Hazar]

Bonjour, je sèche sur un exo !

1)Fallait montrer que l'image par une fonction continue d'un sous ensemble compact est encore un compact. Chose faite.

2)Soit g une fonction continue de E dans C (corps des complexes). A un sous ensemble compact de E.
Montrer que :
a)g(A) est une partie borné de C

D'après la question précédente, g(A) compact, or C de dimension fini donc g(A) est un fermé borné.

b)Montrer qu'il existe x0 tel que le sup de g(x), pour x appartenant à A, soit égale à g(x0) (en module)

En gros, montrer que g atteint sa borne sup.
Problème : tout les théorème sur les bornes sup ( la caractérisation notamment ) sont sur R et je ne suis pas à l'aise avec une généralisation sur C !

J'ai envie d'écrire la même caractérisation de la borne sup sur C que sur R mais avec des modules sur chaque terme, bref j'ai l'impression que c'est un peu du n'importe quoi.

[Doraki]

sup de g(x), ça ne veut rien dire, c'est probablement sup de |g(x)|.
Donc oui on te demande de montrer que la fonction x -> |g(x)|, de A dans R, atteint sa borne supérieure.