BON d'une matrice symétrique

[beeeeeennnnnn]

Bonjour, sachant que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une BON de vecteurs propres, je cherche à déterminer cette BON pour la matrice suivante :
[CENTER]
0 1 0
1 1 1
0 1 0
[/CENTER]

Je détermine une base de vecteurs propres avec le polynôme caract. etc, je trouve une base de vecteurs propres non orthogonaux, je pense à utiliser le procédé de Gramm Shmit mais ce procédé transforme ma base en une base qui n'est plus une base de vecteurs propres !!!
Donc je cherche une autre méthode pour trouver cette BON .
Merci de votre aide.
A bientôt.

[ffpower]

c bizarre que ta base soit non orthogonale.les différents sous espaces propres sont forcement orthogonaux,donc ta base est forcement orthogonale,a moins p-e qu il y est une vp multiple(auquel cas il suffit de prendre une base ortho de chaque sous espace propre,ce que tu peux faire avec shmidt alors)

[fatal_error]

Bonjour,

normalement tu trouves trois valeurs propres 0 2 et -1. Les sous-espaces propres sont orthogonaux. Donc chaque vecteur propre est orthogonal aux autres. Si tu normes les vecteurs tu obtiens donc une matrice orthogonale. Pour le vérifier tu peux calculer alors le déterminant qui doit etre egal a 1 ou -1.

[beeeeeennnnnn]

Donc l'erreur doit venir de moi...
Merci beaucoup pour ton aide donc ça veut dire que dès que tu réduit une matrice symétrique tu tombes sur une BON de vecteurs propres?

[fatal_error]

Non, comme l'a dit ffpower si tu as une valeur de multiplicité plus grande que 1, alors il faut a l'interieur de ce sousespaces propres avoir des vecteurs orthogonaux les uns aux autres. Dans ce cas tu peux effectivement utiliser Schmidt comme dit plus haut.
Ici, chaque valeur est multiplicité 1, pas de problème d'orthogonalité à l'interieur de chaque ss espaces propre

[beeeeeennnnnn]

OK merci beaucoup à tout les deux et est-ce que ça veut dire que tte matrice de passage est orthogonale pour des endomorphismes symétriques?

[ffpower]

encore une fois,seulement si le vp sont distinctes..

[fatal_error]

mm non plus.
Si tu prends trois vecteurs non liés et que ca forme ta matrice de passage ca veut pas dire qu'elle sera orthogonale.
Cependant toute matrice symetrique a coeff réels admet forcément une matrice diagonale et donc une matrice de passage qui soit orthogonale.

[beeeeeennnnnn]

OK ça me va c'est plus clair merci.
Je vous embête plus.
A bientôt.