Bloque sur une implication
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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pouik
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par pouik » 21 Jan 2008, 18:28
Bonsoir,
Je cherche depuis quelques heures maintenant à montrer l'implication suivante, mais sans réussite !!!!
Soient
et
deux espaces vectoriels normés. Soit
une application linéaire de
vers
. Montrer l'implication :
(1) :
est continue au point
(2) : il existe un réel positif
tel que
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klevia
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par klevia » 21 Jan 2008, 19:09
Salut, est-on en dimension fini ?
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SimonB
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par SimonB » 21 Jan 2008, 19:15
Montre d'abord que, en supposant (1), u est alors bornée sur la boule unité (en écrivant la définition de la continuité en 0 et en fixant
. Déduis-en le résultat (indice : écrit
si x est un élément quelconque de E non nul...).
(pour klevia : non, en dimension finie, toute application linéaire est continue...)
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tize
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par tize » 21 Jan 2008, 19:19
Bonjour, très simple :
* u continue en 0 => il existe d>0 tq ||x||<=d => ||u(x)||<1
* u(x/||x||)=1/d.u(d.x/||x||) donc pour tout x : ||u(x)||<=......
[edit] : grillé par tout le monde (ou presque) désolé... : :we:
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pouik
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par pouik » 21 Jan 2008, 19:25
[quote="tize"]
* u(x/||x||)=1/d.u(d.x/||x||) donc pour tout x : ||u(x)||= 1 donc d.x/||x|| >= x, mais c'est tout je ne vois rein d'autre...
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tize
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par tize » 21 Jan 2008, 19:36
Bon, je te le refais en plus clair :
continue en
donc il existe
tel que
et tu remarqueras que
donc
donc
donc
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pouik
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par pouik » 21 Jan 2008, 20:06
donc par linéarité de la norme (non ??) :
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tize
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par tize » 21 Jan 2008, 20:59
Oui...enfin la norme n'est pas linéaire mais il est vrai que l'on a
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