Bipoint

[mehdi-128]

Bonsoir,

On désigne par le plan usuel.

On appelle bipoint de tout couple de points de . A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Lorsque est un parallélogramme, on dit aussi que est équipollent à . D'après les propriétés des parallélogrammes, cela équivaut au fait que les segments et aient le même milieu.

Plus généralement, lorsque et sont 2 bipoints quelconques de , on dit que est équipollent à et on note , si les segments et ont le même milieu.

Je ne vois pas comment prouver les résultats suivants :

1/ Si sont donnés, il est géométriquement évident qu'il existe un unique point tel que l'on ait .

2/ Cette relation d'équipollence est transitive.

[capitaine nuggets]

Salut !

Ce que tu écris là est faux déjà...

Lorsque est un parallélogramme, on dit aussi que est équipotent à . D'après les propriétés des parallélogrammes, cela équivaut au fait que les segments et aient le même milieu.

Ce serait plutôt lorsque ABDC est un parallélogramme.

Ensuite, pourquoi ne pas commencer par faire des dessins ? Une fois cela fait, il sera plus aisé de montrer tes résultats.

1. Étant donnés trois points A, B et C, comment traces-tu le point D tel que ABDC soit un parallélogramme ?
2. Je pense que tu as la définition de la transitivité dans ton livre (Mathématiques MPSI: Tout-en-un ?). Commence déjà par comprendre géométrique cette notion d'équipollence, tu arriveras alors à montrer sa transitivité

Remarque : Puisque (A,B) est équipollent à (C,D) équivaut à ABDC est un parallélogramme, on peut en déduire que (A,B) est équipollent à (C,D) équivaut aussi à .

[aviateur]

A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Bonjour
où est-ce que tu as vu cela?

[mehdi-128]

A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Bonjour
où est-ce que tu as vu cela?

Un exemple sur les classes d'équivalence dans mon livre de MPSI.

[mehdi-128]

Bonjour Capitaine, la notion de vecteur est définie après... On appelle vecteur du plan toute classe d'équivalence de bipoints du plan pour la relation d'équipollence.
Donc peut être faut-il montrer la transitivité sans les vecteurs

Pour la 1 : quand on trace le point tel que soit un parallélogramme, on utilise le compas. En, on tracer un arc de longueur et en on trace un arc de longueur . L'intersection des 2 arcs de cercle donne le point .
L'unicité vient de là ?

Pour la 2, j'ai fait un dessin. On part de et .
On a et sont des parallélogrammes.
Il faut montrer que est un parallélogramme.

et donc

Mais je n'arrive pas à montrer que

[LB2]

Bonjour,

correction d'une coquille importante :

Lorsque est un parallélogramme, on dit que est équipollent à .

[mehdi-128]

Oui vous avez raison LB2 désolé pour cette erreur de frappe.

[aviateur]

A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Bonjour
où est-ce que tu as vu cela?

Un exemple sur les classes d'équivalence dans mon livre de MPSI.

Vraiment si c'est dans ton livre, il vaut mieux le changer. En effet dans la notion de bipoint, il y a une notion de sens. Autrement dit alors que ce n'est pas le cas dans la notion de segment (i.e
[AB]=[BA].
Oui, je sais comme d'hab. tu vas dire que tu t'es trompé (erreur de frappe....)


D'autre part pour la transitivité, il faudrait d'abord savoir quelle définition rigoureuse, tu as de l'équipollence de 2 bipoints. En effet "à partir de parallélogramme" ça risque de coincer à coup sûr.

[mehdi-128]

@Aviateur

Je ne me suis pas trompé. Mais la définition commence par un couple, et un couple est unique non ?

Définition :
On appelle bipoint de tout couple de points de . A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Pour la transitivité, le passage de mon livre est le suivant :
Des considérations de géométrie élémentaire permettent de justifier qu'elle est transitive.

J'aimerais bien savoir lesquelles considérations de géométrie ?

PS : je n'arrive pas à mettre la figure de mon livre, on me dit que l'image est trop grande. C'est juste 2 parallélogrammes ABDC et CDFE.

[lyceen95]

Ce qu'il y a dans le livre n'est pas une erreur. A partir d'un bipoint, on peut associer un segment. Les2 bipoints (A,B) et (B,A) sont différents, et ils ont le même segment image. Soit. Ce n'est pas incohérent.

C'est l'inverse qui serait faux. Si on disait : soit un segment [A,B], on lui associe le bipoint (A,B), là, ce serait une erreur.

[aviateur]

J'avais soulevé la problématique de ta question mais tu as décidé de ne pas en tenir compte et de reposer ta question ailleurs sous le pseudo de Ramanujan. Alors je retire mes remarques qui étaient assez explicites et j'observe ce qu'il se passe!

[mehdi-128]

J'avais soulevé la problématique de ta question mais tu as décidé de ne pas en tenir compte et de reposer ta question ailleurs sous le pseudo de Ramanujan. Alors je retire mes remarques qui étaient assez explicites et j'observe ce qu'il se passe!

Vos questions sont trop compliquées pour mon niveau.

J'arrive même pas à comprendre les résultats donnés dans mon livre que vous parlez de détails comme quoi pourquoi est un plan.

Vous allez me noyer alors que je suis déjà en train de couler.

Toutes les définitions étaient dans mon post de départ. Je n'avais pas d'autres définition plus "rigoureuse" de l'équipollence.

[capitaine nuggets]

A un tel bipoint on associe le segment qui permet de le représenter.

Bonjour
où est-ce que tu as vu cela?

Ici.

Bonjour Capitaine, la notion de vecteur est définie après... On appelle vecteur du plan toute classe d'équivalence de bipoints du plan pour la relation d'équipollence.
Donc peut être faut-il montrer la transitivité sans les vecteurs

Pour la 1 : quand on trace le point tel que soit un parallélogramme, on utilise le compas. En, on tracer un arc de longueur et en on trace un arc de longueur . L'intersection des 2 arcs de cercle donne le point .
L'unicité vient de là ?

Pour la 2, j'ai fait un dessin. On part de et .
On a et sont des parallélogrammes.
Il faut montrer que est un parallélogramme.

et donc

Mais je n'arrive pas à montrer que

Ce n'est pas parce que la notion de vecteur est (re)définie après que tu ne peux pas t'en servir intuitivement ! D'ailleurs, tu es censé manipuler des vecteurs depuis le lycée, voire fin de collège, pourquoi s'en priver ?

Pour la 1., oui parce que par définition d'un parallélogramme, il faut que (CD) soit parallèle à (AB) et (AD) doit être parallèle à (BC). Donc il faut construire deux droites (qui sera (CD)) et (qui sera (AD)), sécantes dès lors que (AB) et (AC) le sont. Donc l'intersection de et est réduite au point D.

Pour la 2., oui et bien ? De quoi a-t-on besoin pour montré qu'un quadrilatère est un parallélogramme ? C'est de la géométrie de 4e/3e...

Vos questions sont trop compliquées pour mon niveau.

J'arrive même pas à comprendre les résultats donnés dans mon livre que vous parlez de détails comme quoi pourquoi est un plan.

Vous allez me noyer alors que je suis déjà en train de couler.

Toutes les définitions étaient dans mon post de départ. Je n'avais pas d'autres définition plus "rigoureuse" de l'équipollence.

Si le niveau te semble trop élevé pourquoi ne pas revenir à des choses qui te conviendraient peut-être mieux ? Tu prépares ta rentrée en MPSI ?

[capitaine nuggets]

D'ailleurs, tout est dit ici... Les intervenant ont donnés plusieurs méthodes et se sont même cassé la tête à te faire des dessins. Etudies-les

[aviateur]

Bonjour
Dans le lien donné @captainnugeets, il y a un dernier intervenant qui commence (enfin) à lever les problèmes que j'avais émis dès le départ .
C'est à dire qu'il me semble qu'on ne peut pas démontrer (correctement) la transitivité si on ne précise pas les prérequis.
C'est pour cela qu'il faut bien préciser les axiomes dont on dispose.
En particulier il n'est pas question d'utiliser les vecteurs.
Et puis la démonstration "géométrique" ne tient pas compte des cas ou par exemple A,B E ,F sont alignés....

@medhi il faudrait que tu comprennes que je n'ai pas cherché à te noyer. Mais tu demandes une démonstration qu'on ne peut pas faire sans certaine infos. D'où mes questions..
De toute façon, de façon générale, dans ton cas cela serait bien plus rentable si tu cherchais à faire les exos du livre, où on pourrait t'aider plus simplement.

Je t'invite à regarder l'exemple 3. de la page 3 et la note en bas de la page 3, du lien ci-dessous, où l'auteur pense comme moi!
https://www.math.u-bordeaux.fr/~rcoulang/fmi2012/chap4.pdf

[beagle]

Bonjour,
un parallélogramme est un quadrilatère machin,
ok, alors un quadrilatère est un polygone truc, ça marche
ok alors un polygone est …

ptain on va savoir où que l'on ne parle pas de parallélogramme si les 4 points sont alignés?

[beagle]

peut-être avec les cotés diagonaux.
C'est étrange car si on écrase le parallélogramme, cela oblige à changer le nom des cotés diagonaux, …
ah c'est pas facile tout ça.

PS: je suis parti de wiki
"En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leurs milieux ."

[GaBuZoMeu]

Il serait peut-être bon de s'apercevoir que la définition officielle d'équipollence ne parle plus de parallélogramme :

Plus généralement, lorsque et sont 2 bipoints quelconques de , on dit que est équipollent à et on note , si les segments et ont le même milieu.

Ce qui reste à montrer de manière "élémentaire", c'est que si [AD] et [BC] ont même milieu I et que [CF] et [DE] ont même milieu J, alors [AF] et [BE] ont même milieu K.
Ce milieu commun K est le symétrique du milieu de [CD] par rapport au milieu de [IJ].

[beagle]

"Il serait peut-être bon de s'apercevoir que la définition officielle d'équipollence ne parle plus de parallélogramme "

oui comme cela,
cela marche meme pour le parallélogramme plat où on a ABCD parallélogramme et AB et DC les diagonales, ce qui est inhabituel.*

* si on prend diagonale = " définie par deux sommets non consécutifs d'un polygone"

[GaBuZoMeu]

La définition officielle ne parle pas non plus de diagonale. Pourquoi vouloir à toute force lui faire dire ce qu'elle ne dit pas ?