Bijectivité (complexe)

[qaterio]

Bonsoir,

J'ai besoin d'aide, je n'arrive pas à montrer que f:D--->D est une bijection vérifiant f(C)=C... C'est la question 2. de l'exercice 2.16. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance (ce sont mes dernières révisions avant les partiels).
https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroy ... PS-TD2.pdf

[qaterio]

Pour l'injectivité, j'introduis z,z'€D tels que f(z)=f(z') mais impossible d'aller au bout (c'est-à-dire z=z').

[hdci]

Bonjour,

En prenant , On peut chercher à résoudre équation en z et remarquer qu'il y a une unique solution, il n'y a plus qu'à vérifier que ce qui est trivial si on a déjà montré que est bien de

[qaterio]

@hdci,
Ah oui, j'avais jamais pensé à résoudre le problème de cette manière, ça permet d'avoir l'injectivité et la surjectivité en un coups, je te remercie ! (après tout, j'y pense pas assez, mais montrer qu'une fonction est bijective c'est montrer l'existence et l'unicité de la solution).
Et montrer qu'elle vérifie f(C)=C, c'est pas trop dur.

[mathelot]

si alors et réciproquement

[mathelot]

je fais la question 1.

soit c complexe tel que |c|<1
on utilise la formule pour u complexe :


en élevant au carré


en développant





avec égalité si |z|=1

[mathelot]

ces fonctions sont les briques de base de fonctions holomorphes sur le disque unité:
les produits de Blaschke
https://en.wikipedia.org/wiki/Blaschke_product

[qaterio]

Merci