Bijection de N

[yassine-_@hotmail.com]

bonjour tt l monde ,j'ai trouve des difficultes pour montre que :

si on a un bijection de f: N --> N donc lim quand n>+oo de f(n) =+oo

[DamX]

bonjour tt l monde ,j'ai trouve des difficultes pour montre que :

si on a un bijection de f: N --> N donc lim quand n>+oo de f(n) =+oo

Bonjour,

Regarde par l'absurde :

Il existe A>0 tq pour tout n0 dans N, il existe n>=n0 tq f(n)<A.

Et essaye de faire un dessin de ce que ça veut dire et tu devrais arriver à trouver une contradiction (en raisonnant sur le fait que tu te trouves dans N, la proposition n'est pas vraie dans R par exemple)

Damien

[leon1789]

Ce qu'il s'agit de démontrer
sous l'hypothèse f : N --> N bijective.

Au lieu d'un raisonnement par l'absurde (perso, je n'aime pas l'absurde), je propose que de faire une simple récurrence sur l'entier A :
- l'initialisation A=0 est triviale ;
- l'hérédité n'est pas compliquée : si un certain entier A vérifie , qu'en est-il pour l'entier A+1 ?
Comme f est bijective, il existe un seul antécédent de A. Et alors, pour tout n à la fois plus grand que et , on a ...

En fait, la preuve à surtout besoin de l'injectivité de f : on démontre ici que si f : N --> N est injective, alors sa limite est infinie.

[leon1789]

Ce qu'il s'agit de démontrer
sous l'hypothèse f : N --> N bijective.

Au lieu d'un raisonnement par l'absurde (perso, je n'aime pas l'absurde), je propose de faire une simple récurrence sur l'entier A :
- l'initialisation A=0 est triviale ;
- l'hérédité n'est pas compliquée : si un certain entier A vérifie , qu'en est-il pour l'entier A+1 ?
Comme f est bijective, il existe un seul antécédent de A. Et alors, pour tout n à la fois plus grand que et , on a ...

En fait, la preuve a surtout besoin de l'injectivité de f : on démontre ici que si f : N --> N est injective, alors sa limite est infinie.

EDIT, en fait la preuve montre que si f ne prend pas une infinité de fois la même valeur, alors f tend vers l'infini. Et à l'évidence, la réciproque est également vraie. C'est ce que DamX propose de démontrer dans sa proposition de raisonnement par l'absurde, je pense.