Besoin d'explication sur les anneaux

[lanapurna16]

bonjour
voila j'ai un ensemble Z[i] = {z/ z appartient à C , il existe (a,b) appartient à Z², z = a+ ib}

et je dois déterminer les elements inversibles de Z[i]

ma correction d'exercice est : un element z = a + ib de C* est inversible et son inverse est 1/z = a -ib/a+ib
(déja je ne conprend pas pourquoi 1/z est égal à ca mais pas à 1 / a + ib)

un element z = a+ib de Z[i] \ {0} est inversible ssi a- ib / a+ ib est dans Z[i]
Si a/ a² + b² et -b/a²+b² sont dans Z alors a²/ (a²+b²) et b²/(a²+b²)² son dans N ( pourquoi on prend a/a²+b² et -b/a²+b² ? comment à t'on l'idée de prendre ca ? )

d'ou a²/(a²+b²)² + b²/(a²+b²)² = a²+b² / (a²+b²)² = 1/ a²+b² ( en fait je ne vois pas ou veut on en venir ? avec tout ca ?)

(a,b) = (1,0) ou (-1,0) ou ( 0,1) ou ( 0,-1 ) ( pourquoi ?)

réciproquement pour ces valeurs de a et b a-ib / a²+b² est dans Z [i]. les inversibles sont donc 1,-1 , i et -i



merci de m'expliquer car je n'ai vraiment pas compris la correction ni le fil conducteur du truc

[ev85]

bonjour
voila j'ai un ensemble Z[i] = {z/ z appartient à C , il existe (a,b) appartient à Z², z = a+ ib}

et je dois déterminer les elements inversibles de Z[i]

ma correction d'exercice est : un element z = a + ib de C* est inversible et son inverse est 1/z = a -ib/a+ib

Tu calcules . Donc si alors est inversible et est son inverse.

Réciproquement, si z est inversible et z' est son inverse, alors . Donc est un entier relatif qui admet un inverse: c'est 1 (ou -1, mais ça c'est vachement rare)

[MacManus]

Bonjour,


Supposons que z soit inversible, alors pour tout z dans C* (i.e (a,b)(0,0)), on a:
. Donc , avec et .
Donc , et la somme de ces deux termes donne . Donc, pour que z soit inversible, il faut que , c'est-à-dire que qu'on ait les couples solutions (a,b) suivants : ce qui donne les inverses suivants : = -1 ou 1 ou i ou -i
Bon, on retrouve ces solutions rapidement avec ce qu'a écrit ev85, mais j'essayais de rédiger en fonction de ce que tu avais écrit.

[cdav]

bonjour
voila j'ai un ensemble Z[i] = {z/ z appartient à C , il existe (a,b) appartient à Z², z = a+ ib}

et je dois déterminer les elements inversibles de Z[i]

ma correction d'exercice est : un element z = a + ib de C* est inversible et son inverse est 1/z = a -ib/a+ib
(déja je ne conprend pas pourquoi 1/z est égal à ca mais pas à 1 / a + ib)

un element z = a+ib de Z[i] \ {0} est inversible ssi a- ib / a+ ib est dans Z[i]
Si a/ a² + b² et -b/a²+b² sont dans Z alors a²/ (a²+b²) et b²/(a²+b²)² son dans N ( pourquoi on prend a/a²+b² et -b/a²+b² ? comment à t'on l'idée de prendre ca ? )

d'ou a²/(a²+b²)² + b²/(a²+b²)² = a²+b² / (a²+b²)² = 1/ a²+b² ( en fait je ne vois pas ou veut on en venir ? avec tout ca ?)

(a,b) = (1,0) ou (-1,0) ou ( 0,1) ou ( 0,-1 ) ( pourquoi ?)


réciproquement pour ces valeurs de a et b a-ib / a²+b² est dans Z [i]. les inversibles sont donc 1,-1 , i et -i

merci de m'expliquer car je n'ai vraiment pas compris la correction ni le fil conducteur du truc

l'anneau s'appelle l'anneau de Gauss: en fait un element a est inversible s'il existe un element b tel
que a*b =1 tu ecris b =x+iy et tu trouves la solution du prof

[MacManus]

l'anneau s'appelle l'anneau de Gauss: en fait un element a est inversible s'il existe un element b tel
que a*b =1 tu ecris b =x+iy et tu trouves la solution du prof

Oui bonjour à toi cdav !

[lanapurna16]

jai tout compris merciiii

[lanapurna16]

mais j'ai une autre question ou je n'ai pas compris
soit I l'idéal de Z [i] engendré par z. on note F le quotient de Z[i] par I
quel est le cardinal de F?

la mon prof a fait intervenir les classe d'équivalences je ne sais pas pourquoi ? quel est le lien avec le cardinal ?

en fait il a écrit : notons ^z la classe d'équivalence d'un elt z de Z[i] module I; Deux elements z= a+ib et z'= a'-ib' représente le meme elt de F ssi z-z' est dans I
or z-z' € I <=> (a-a') + i(b-b') €I
<=> il existe c et d € Z², (a-a') +i(b-b') = z(c+id)
<=> a-a' € zZ et b-b' € zZ.
les elts de F sont donc ^1 ^2 ^0 ^i ^1+i ^1+2i ^2+i 2+2i
et j'ai marqué que le cardinal de F est donc g mais j'ai surement voulu écrire 9


je n'ai pas saisi la corection ni le fil conducteur en faite il veut en venir ou ?