Besoin d'explication méthode de newton

[lanapurna16]

Montrer que l’algorithme de Newton appliqué à une fonction g (dont
1/a est un zéro) bien choisie s’écrit :

x(0) donné,
x(n+1) = x(n)(2 ;) ax(n)).


correction :
Soit g la fonction définie de IR;) dans IR par g(x) = 1/x ;) a. Cette
fonction est continue et dérivable pour tout x diférent de 0, et on a : g;)(x) =
;) 1/x²
. L’algorithme de Newton pour la recherche d’un zéro de cette
fonction s’écrit donc bien :

x(0) donné,
x(n+1) = x(n)(2 ;) ax(n)).

en faite je ne vois pas en quoi le fait de trouver g'x et d'avoir sa dérivée permet de déduire le résultat

je vous remercie d'avance

[MacManus]

Bonjour

La méthode de Newton est un cas particulier de la méthode du point fixe, puisque chercher les racines de l'équation g(x)=0 équivaut à résoudre l'équation f(x)=x avec f(x)=x-[g(x)/g'(x)]

De plus, on sait que la tangente à la courbe g au point x0 (donné) a pour équation :
y=g'(x0)(x-x0)+g(x0)
L'intersection avec l'axe des abscisses permet de trouver une première approximation x1 et cela revient à écrire l'équation g'(x0)(x1-x0)+g(x0) = 0 (avec g'(x0) différent de 0),
cad x1-x0 = -g(x0)/g'(x0),
cad x1 = x0 - g(x0)/g'(x0)
puis on réitère x2 = x1 - g(x1)/g'(x1) etc...
donc finalement, cela revient à écrire
il faut donc déterminer la dérivée de g.