Besoin d'aides pour ces exos sur les intégrales

[shar]

Bonsoir, j'essaie de commencer les intégrales généralisés de mon coté mais je comprend pas bien certains exos, j'ai du mal à démarrer et à voir comment procéder.

1) Soit P un polynôme à coefficient complexes. Montrer que:



2)Soit F une primitive de la fonction continue :



Donner un équivalent de F(x) quand x tend vers + l'infini.

3)Soit f une fonction continue de [0,1] dans R.

Determiner si elle existe,

[aviateur]

Bonjour indications:
Pour le 1 c'est le théorème (intégral) de Cauchy sur la frontière du demi disque unité
Pour le 2 faire une IPP
Pour le 3 j'essaierai le chgmt de variable u=tx.

[shar]

Bonjour,
je ne comprend pas les indications pour la 1)

[aviateur]

Le 1/2 disque unité est la réunion du segment [-1,1] et du demi cercle d'équation z=exp(i*\theta)
L'intégrale sur ce contour de P(z) dz vaut zéro et conduit donc directement au résultat.

[Kolis]

Bonsoir @aviateur !
Je pense que le questionneur (début d'étude des intégrales impropres) ne connait pas le "théorème de Cauchy" !

@shar : tu peux supposer puis utiliser la linéarité.

[aviateur]

Merci @Kolis, tu as peut- être raison (je ne sais pas s'il est possible de savoir quelque part à quel niveau est @shar)?
Effectivement si @shar ne connait pas le th de Cauchy (th classique que l'on voit quand on étudie les fonctions de la variable complexe) il "doit" suivre ton indication.

[shar]

En effet , je viens de commencer les intégrales impropres il y a deux jours

[shar]

Bonsoir @aviateur !
Je pense que le questionneur (début d'étude des intégrales impropres) ne connait pas le "théorème de Cauchy" !

@shar : tu peux supposer puis utiliser la linéarité.

Pourquoi peut t-on supposer ça?

[aviateur]

Parce que l'intégrale est linéaire
Donc ton polynôme tu l'écris sous la forme
p(t)=a_0+a_1 t+....+a_k t^k+....+a_n t^n
Donc si tu démontres la propriété pour tout "t^k" par linéarité tu vas arriver au résultat. ....

[shar]

Je vois pas bien ce que ça veut dire...


si j'intègre (t^k) entre entre -1 et je tomberais sur (1-1^k+1)/k+1 , et je vois pas trop en quoi ça m'avance.

[Kolis]

Oui mais si tu démontres que

tu auras fait un grand pas !

[aviateur]

Et si tu calcules l'intégrale du second membre tu retrouves le même!!

[aviateur]

télescopage!!