J'aimerais donc savoir s'il serait possible que vous m'aidiez à résoudre cet exercice et à vérifier si mes réponses sont correctes.
Voici l'énoncé:
Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R^3. On note (x,y,z) les composantes d'un vecteur u de R^3 dans cette base. On considère l'application f: R^3 -> R^3 définie par :
f(e1)= e1 + e2 - e3
f(e2)= 2e2
f(e3)= - e1 +e2 +e3
Première partie:
1) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique.
Voici ma réponse : A=
1,0,-1
1,2,1
-1,0,1
2) Ecrire les composantes (x',y',z') du vecteur f(u) en fonction des composantes (x,y,z) d'un vecteur u.
Voici ma solution:
x'=x-z
y'=x+ 2y +z
z'= -x +z
Deuxième partie:
3) Déterminer le noyau de A (ou de f) ainsi qu'une base de ce noyau.
Ma réponse est:
x=z
y= -z
z=z
avec z élément de R
et une base du noyau est donc (1;-1;1)
4) Justifier que l'image de A est de dimension 2, donner une équation cartésienne et une base de Im(A).
Voici ma solution;
Pour justifier la dimension de Im(A) j'ai utilisé le théorème du rang. De même j'aurais aussi pu regarder le nombre de lignes/colonnes non nulles de la matrice A qui est bien égal à 2.
Pour Im(A) je trouve:
a+c=0
ce qui donne:
a= -c
b=b
c=c
avec c et b éléments de R.
et donc une base de Im(A) est (-1,0,1) et (0,1,0)
Troisième partie:
5) Ecrire la matrice B= A - 2Id
Ma réponse: B=
-1,0,-1
1,0,1
-1,0,-1
6) Déterminer Ker(B).
Je trouve :
x= -z
y=y
z=z
avec z et y éléments de R.
Une base de Ker(B) est donc (-1,0,1) et (0,1,0).
7) Montrer que Ker(A) et Ker(B) sont supplémentaires.
Je prends alors un vecteur qui se trouve dans Ker(A) ∩ Ker(B).
Et donc ce vecteur que j'appelle u ∈ ker (A) et u = x- y +z
De même u ∈ Ker(B) donc u a pour systeme:
-x + z=0
y=0
On trouve alors que y=0 et x=0 ainsi que z=0 puisque x= -z et donc x+z= -z +z = 0
L'intersection de Ker(A) et Ker(B) est donc le vecteur nul.
De plus dimKer(A) + dimKer(B) = 1 + 2= 3 = dim(E).
Ker(A) et Ker(B) sont donc supplémentaires.
8) Justifier que si v ∈ Ker (B) alors f(v)= 2v
Cette question je bloque complétement et ne sais pas la résoudre.
Je ne sais pas si cela vient du fait que mes réponses précédentes sont fausses mais je n'arrive pas à répondre à cette question.
Quatrième partie:
9) Déterminer une base (v1;v2;v3) telle que v1 ∈ Ker(A) et v2,v3 ∈ Ker(B).
Avec ce que j'ai trouvé dans les partie précédentes je prends donc:
v1 (2,-2,2)
v2 (-3,0,3)
v3 (0,4,0)
10) Donner la matrice de f dans la base (v1,v2,v3)
Ma solution est :
j'ai v1= 2e1 - 2e2 + 2e3
v2= -3e1 + 3e3
v3= 4e2
J'en déduis que :
e1= (-1/2)*v1 + (-2/9)*v2 + (-1/12)*v3
e2= (1/4)*v3
e3= (1/2)*v1 + (1/9)*v2 + (1/12)*v3
De plus j'ai;
f(v1)= f(2e1 - 2e2 +2e3)
= 2f(e1) - 2f(e2) + 2f(e3)
= 2*(e1 +e2 -e3) - 2(2e2) + 2(-e1 +e2+e3)
=0
f(v2)= f(-3e1 +3e3)
= -3f(e1) + 3f(e3)
= -3(e1 +e2 -e3) + 3(-e1 +e2 +e3)
= -6e1 + 6e2 + 6e3
= 3v1 + (4/3)*v2 + (1/2)*v3
f(v3)= f(4e2)
= 4f(e2)
= 4*2e2
=8e2
=2v3
on a alors la matrice suivante de f dans la base (v1,v2,v3)
0,3,0
0,(4/3),0
0,(1/2),2
11)En déduire que f est la composée d'une homothétie dont on donnera le rapport et d'une projection qu'on caractérisera.
Pour cette question je suppose que je dois comparer la matrice de f dans les deux bases, la base (e1,e2,e3) et dans celle de (v1,v2,v3) mais je n'arrive pas à en extraire les données demandées
voici les deux matrices:
1,0,-1
1,2,1
-1,0,1
0,3,0
0,(4/3),0
0,(1/2),2
Je vous remercie d'avance pour votre coup de main et votre temps accordé; j'espere que vous pourrez m'aider à y voir plus clair
