Exercice 1.
Soit G =< g > un groupe cyclique fini. Pour tout élément h appartenant à G, on note o(h) l'ordre de h.
1) Soit h appartenant à G. Montrez que l'application fh définie par fh(gn) = hn, pour tout entier n, est un endomorphisme de G.
2) Montrez que pour tout endomorphisme f de < g >, il existe h appartenant à < g > tel que f = fh.
3) Montrez que fh est un automorphisme si et seulement si o(h) = o(g).
3) Montrez que si o(g) est premier, le cardinal du groupe des automorphismes de
Exercice 2.
Soit G un groupe fini et soit p le plus petit nombre premier divisant l'ordre de G. Soit K inclus dans G un sous-groupe de G.
1) Montrez que l'application Kx(G/K) -> G/K définie par (k; gK) -> kgK est une opération de K dans G/K. Montrez que l'orbite de la classe K appartenant à G/K, pour cette opération, est réduite à {K}.
2) Supposons [G : K] = p. Montrez que toutes les orbites, de cette opération, ont 1 élément.
3) En déduire que si [G : K] = p, alors K est distingué dans G.
Exercice 3.
Soit G un groupe de cardinal 35.
1) Si K inclus dans G est un sous-groupe de cardinal 7, montrez que K est distingué (vous avez le droit d'utiliser l'exercice précédent).
2) Soit maintenant H inclus dans G un sous-groupe de cardinal 5 de G. Pour k appartenant à K et h appartenant à H, on pose ih(k) = hkh-1 appartenant à K. Montrez que h -> ih est un homomorphisme de H dans le groupe des automorphismes de K.
3) Utilisez l'exercice 1 pour montrer que ih(k) = k, pour tout h appartenant à H et k appartenant à K.
4) En déduire que l'application HxK -> G définie par (h; k) -> hk est un homomorphisme de groupes.
5) Montrez que cet homomorphisme est un isomorphisme
6) En déduire que G environ égal à Z/35Z.