Besoin d'aide, Equation diff ?

[Intégrer]

Salut !

Alors voilà je suis entrain de bloquer sur un exo de dynamique et j'aurai un peu besoin d'aide (de plus je crois qu'on a besoin de savoir résoudre des équations diffs et on commence juste le chapitre en math ).

On a un point matériel M qui glisse sans frottements le long d'un arc de cercle ( d'angle 0->pi/2, enfin en gros délimité par la partie positive des deux axes x et y), referentiel galiléen. On nous dit que si le point est infiniment peu écarté du point le plus élevé et sans Vinitial, il glisse le long du cercle et on souhaite démontrer qu'à partir d'un certain angle, il perd le contact et fini son mouvement en chute libre.
On mène l'étude en polaire.

Bref je finis par trouver un système avec
(2r'∅'+∅''r) = -g cos ∅
Et r''-r∅' =N/m -g sin∅
Avec r =norme OM, ∅ angle (vect i, vect Ur), g constante(pensanteur), m masse constante et N réaction normal de l'arc de cercle sur M.
Dans l'énoncé on me conseil de multiplier l'équation qui contient ∅'' par 2∅' pour pouvoir trouver une relation entre ∅'^2 et ∅, je le fais or je ne vois pas vraiment la relation entre l'un et l'autre Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
( l'équation obtenue après multiplication par 2∅' est
4r'∅'^2+∅''r2∅'=-g2∅'cos∅ )

[Ben314]

Salut,

(2r'∅'+∅''r) = -g cos ∅
Et r''-r∅' =N/m -g sin∅
Avec r =norme OM, ∅ angle (vect i, vect Ur), g constante(pensanteur), m masse constante et N réaction normal de l'arc de cercle sur M.

Je comprend pas trop ton truc : la variable représente quoi ?
A froid, j'aurais dit le rayon du cercle, sauf que dans ce cas je comprend pas ce que peuvent être ton et ton .

Perso, j'aurais posé et donc .
Puis où est le rayon du cercle et où est une fonction du temps telle que et vu qu'on part du haut du cercle à vitesse nulle.
Donc (vitesse) et (accélération).
Les forces en présence sont le poids et la réaction du plan avec positif vu que le plan ne peut que "repousser" la bille et pas l'attirer (et c'est ça qui va permettre de voir à quelle moment il y a "décrochage").
La formule fondamentale donne c'est à dire
La première équation s'intègre facilement en la multipliant par et c'est un phénomène général dans ce type de situation vu que, se faisant, on tombe sur la relation bien connue des physiciens, à savoir "Enérgie cinétique + Énergie potentielle = Constante" (qui peut bien sûr être utilisée dés le départ si on la connait).
Une fois intégrée, cette relation te donne en fonction de que tu reporte dans la seconde équation et tu n'a plus qu'à résoudre l'inéquation pour déterminer à quelle position (et pas à quel moment ) la bille va décrocher de l'arc de cercle.

Indic. : Comme on pouvait éventuellement s'en douter avec un peu d'intuition, l'angle de décrochage ne dépend ni de , ni de , ni de .

P.S. : comme je comprend pas trop tes équations, j'arrive pas bien à voir dans quel repère tu as travaillé : si tu utilise le repère "de base" tu ne tombe pas directement sur les équations , mais sur un autre système qui, si tu le résous, donne les équations . Quand on "connait le truc", dans ce type de contexte, on raisonne plutôt sur un repère variable qui, en math. (et je pense en physique aussi), s'appelle le repère de Frenet.

[Intégrer]

Salut
Tout d'abord merci de ta réponse
Je suis sincèrement désolé effectivement r était une constante donc r' et r'' ne servait à rien... (enfin = à 0), enfaîte j'ai pensé que r était pas une constante vu que le point n'allait pas rester en contact avec le quart de cercle....
Mais ta réponse est très intéressante je trouve, enfin tu expliques bien tout.
Par rapport à ton P.S. justement ici j'utilisais les coordonnées polaires, qui correspondent au repère de Frenet justement.

Merci beaucoup à toi et bonne soirée.

[Ben314]

Je suis sincèrement désolé effectivement r était une constante donc r' et r'' ne servait à rien...

D'un autre coté, je suis aussi quand même pas mal con : si on prend tes équation et qu'on y injecte r'=r''=0, ben on tombe direct sur les équations du (1).

Sinon, une question que je me posait, c'est de savoir si on peut pas répondre à la question avec du "quasi pur géométrique" : on sait qu'avant le "décrochage", la trajectoire est (évidement) un arc de cercle et que, après le décrochage, c'est un arc de parabole dont on connait pas mal de caractéristiques, surtout si on s'autorise dés le départ à utiliser la formule E_cin+E_pot=Cst. Et le but, c'est évidement de trouver LA (unique) parabole de ce type qui est "tangente à l'ordre 2" au cercle c'est à dire tel que le cercle soit le cercle osculateur de la parabole en leur point de contact.

[Intégrer]

Franchement j'en ai aucune idée, j'ai pas encore fais trop de géométrie pour l'instant, mais j'y réfléchirai pour voir si avec mon peu de connaissance je peux trouver un truc ou deux. Si je trouve un truc je le posterai ici