Beoin d'explications.

par **totololo** » 30 Déc 2010, 16:47

Bonjour à toutes & à tous.
J'apprends mon cours sur les développements limités, et je ne comprends pas, mais alors vraiment pas, comment fonctionne la composition de développements limités.

Prenons un exemple " simple " ->> f(x)= exp( ;)(1+x) ) DL d'ordre 3 en 0 .

Pouvez vous m'expliquer pas à pas la methode ?

Merci d'avance..

par **XENSECP** » 30 Déc 2010, 16:49

Tu peux déjà faire le DL de l'argument de l'exponentielle à l'ordre 3 en 0

Ensuite tu mets sous la forme

avec

. Et tu refais un DL d'ordre 3. Normalement pas mal de termes que tu avais vont partir dans le

.

Développe un peu et reviens vers nous ensuite.

par **Sylviel** » 30 Déc 2010, 16:53

f(x)= exp( ;)(1+x) )
= exp( x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4) )
= exp(u) où u = x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4) tends bien vers 0
= 1 + u + u²/2 + u^3/6 + o(u^3)
= 1 + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4)) + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²/2 + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3/6 + o((x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3)

Maintenant avant de développer tout comme un bourrin il faut réfléchir pour ne garder que les termes d'ordre inférieur ou égaux à 3
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²=...
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3=...

Je te laisse finir (tu n'as pas choisit un exemple évident)

Une fois que tu as compris le principe on pourra discuter sur la manière de faire en pratique...

par **totololo** » 30 Déc 2010, 16:56

XENSECP a écrit:

Tu peux déjà faire le DL de l'argument de l'exponentielle à l'ordre 3 en 0

Ensuite tu mets sous la forme avec . Et tu refais un DL d'ordre 3. Normalement pas mal de termes que tu avais vont partir dans le .

Développe un peu et reviens vers nous ensuite.

(1+x) = 1 + x/2 - x²/8 + (x^3)/16 +o(x^3)

et

exp(u) = 1 + u + u²/2 + (u^3)/6 + o(u^3).

Que dois-je faire à présent ? Si je pose u=;)(1+x) , u ne tend pas vers 0 ..

par **fatal_error** » 30 Déc 2010, 16:57

salut,

alors tu prends sqrt(1+x) et tu prends son DL à l'ordre mettons...3, en zéro
donc ca donne qqch du style f(x) = DL_3(0) [ sqrt(1+x) ] = 1+1/2x - 1/4x^2 + 1/8x^3 + o(x^3) (je crois que c'est ca, mais c'est plus sûr)...

bref ensuite tu fais pareil pour l'exponentielle :
exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6
ensuite tu composes, donc dans les x, tu envoies sqrt(x) :
DL_3(0) [exp(sqrt(1+x))]=DL_3(0) exp(f(x)) = DL_3(0) 1 + f(x) + f(x) ^2/2 + f(x)^3/6
pis tu remplaces...
DL_3(0) 1 + ( 1 + 1/2x - 1/4x^2 + ...) + ( 1 + 1/2x - 1/4x^2 + ...)^2/2 + ( 1 + 1/2x - 1/4x^2 + ...)^3/6
tu développes tout dans la joie et la bonne humeur.

Et tu gicles tous les termes négligeables devant x^3

edit : ya du speedy dans l'air!!!!
edit2 : je prends pas le risque de retaper une prose pour rien XD

par **totololo** » 30 Déc 2010, 16:59

Sylviel a écrit:f(x)= exp( (1+x) )
= exp( x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4) )
= exp(u) où u = x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4) tends bien vers 0
= 1 + u + u²/2 + u^3/6 + o(u^3)
= 1 + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4)) + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²/2 + (x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3/6 + o((x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3)

Maintenant avant de développer tout comme un bourrin il faut réfléchir pour ne garder que les termes d'ordre inférieur ou égaux à 3
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²=...
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3=...

Je te laisse finir (tu n'as pas choisit un exemple évident)

Une fois que tu as compris le principe on pourra discuter sur la manière de faire en pratique...

(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²= x²/4 + o(x^3) ?
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3= (x^3)/8 + o(x^3) ?

par **totololo** » 30 Déc 2010, 17:12

I'm lost ..

par **totololo** » 30 Déc 2010, 17:20

" Maintenant avant de développer tout comme un bourrin il faut réfléchir pour ne garder que les termes d'ordre inférieur ou égaux à 3
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))²=...
(x/2-x²/8+x^3/16 + o(x^4))^3=... "

Comment fait-on pour garder directement les termes d'ordre inférieur ou égal à 3 ?
Doit on se taper à chaque fois tout le gros calcul ?

par **XENSECP** » 30 Déc 2010, 17:21

totololo a écrit:I'm lost ..

Pourtant les 2 autres sont rentrés davantage dans les calculs que moi.

A la place de mon

j'aurais du mettre plutôt

mais bon.

Tu mets le DL de la racine carrée dans l'exponentielle et tu refais un DL (DL de l'exp).

par **totololo** » 30 Déc 2010, 17:25

Je pense avoir saisi, j'ai juste besoin d'une réponse à ma derniere question .

par **XENSECP** » 30 Déc 2010, 17:33

totololo a écrit:Je pense avoir saisi, j'ai juste besoin d'une réponse à ma derniere question .

Je reconnais que c'est assez bourrin donc à lire comme ça, ça doit pas être évident

Comment fait-on pour garder directement les termes d'ordre inférieur ou égal à 3 ?
Doit on se taper à chaque fois tout le gros calcul ?

Normalement il y a des techniques pour savoir jusqu'à quel degré développer chaque fonction. Mais comme ici chaque DL avait tous ses termes non nuls (jusqu'au degré 3), il valait mieux tout DL à l'ordre 3 à chaque fois et virer les termes de degré > 3, sinon ce serait pas bon

par **totololo** » 30 Déc 2010, 17:40

XENSECP a écrit:Je reconnais que c'est assez bourrin donc à lire comme ça, ça doit pas être évident

Normalement il y a des techniques pour savoir jusqu'à quel degré développer chaque fonction. Mais comme ici chaque DL avait tous ses termes non nuls (jusqu'au degré 3), il valait mieux tout DL à l'ordre 3 à chaque fois et virer les termes de degré > 3, sinon ce serait pas bon

Ok.. Merci bien =)

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2010, 17:48

Que trouves-tu au final ?

par **totololo** » 30 Déc 2010, 18:01

Sa Majesté a écrit:Que trouves-tu au final ?

e + ex/2 + ex^3/48 + o(x^3)

par **Sa Majesté** » 30 Déc 2010, 18:03

Moi aussi :++:

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