Bellman, conditions de lissage

[guikkom]

Salut à tous,

Voilà un problème sur lequel je me casse les dents :

Le résumé de la situation :

J’ai une équation de Bellman :
rVi(S) = (S – ci) + k (;) – S)V’i(S) + 1/2;)²V’’i(S)

où i un indice discret : i = 0,1
ci est constant

S suit un processus de retour à la moyenne :
dS = k (;) – S)dt +;)dz
S dépend du temps

Je connais les solutions particulières Pi et additionnelles ;)i :
P0 = - c0/r
P1 = (;) - c1)/r + (S0 + ;))/(r + k)

Et ;)i = Di ;) (r/2k, ½, k(;) – S)²/;)²)

Di est une constante.

;) est une fonction hypergéométrique confluente que je sais tracer.


Toutes ces informations sont normalement suffisantes pour résoudre le système d’équations suivant (ce que je n’arrive pas à faire):

P0(Sx) + ;)0(Sx) = a + P1(Sx) + ;)1(Sx) (1)
P1(Sy) + ;)1(Sy) = b + P0(Sy) + ;)0(Sy) (2)


Avec les conditions de lissage:
P’0(Sx) + ;)’0(Sx) = P’1(Sx) + ;)’1(Sx) (3)
P’1(Sy) + ;)’1(Sy) = P’0(Sy) + ;)’0(Sy) (4)

Les conditions limites sont :
Quand S tend vers moins l’infini, ;)0(S) = 0
Quand S tend vers plus l’infini, ;)1(S) = 0


Quelques calculs (trop ?) simples me font aboutir à D0 ;) D1 et D0 = D1 …

Ma question est donc : quel chemin suivre pour obtenir ;)i ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide