Bases et ev

[mayele]

Bonsoir tout le monde, j'ai quelques doutes concernant la rigueur par rapport à cet exo

Soit a0 i différent de k

R désigne le Pi du produit ( dsl je n'ai pas le latex) donc on considère Pk comme le produit des polynomes (X-ai) pour k variant de 0 à n avec ki différent de i.

1)Démontrer que (P0,...,Pn) base de |Rn[X].
La j'ai me suis contenté juste de démontrer que c'est une famille libre car |Rn[X] est un evdf( ev de dim finie) et donc j'obtient la somme des lambda k (€R^n+1)fois Pk =0.
A partir de ça je me sers du fait que (|Rn[X],+,*) est un anneau intègre donc soit les Pk=0 ou les lambda k=0 ou les Pk sont différents du polynomes nul donc famille libre.

2)Soit P€ |Rn[X]. Quelles sont les coordonnées de P dans cette base ?
La j'ai dit que ce sont les lambda k ?

Merci de m'éclairer dans mon raisonnement

[alavacommejetepousse]

j'obtient la somme des lambda k (€R^n+1)fois Pk =0.
A partir de ça je me sers du fait que (|Rn[X],+,*) est un anneau intègre donc soit les Pk=0 ou les lambda k=0 ou les Pk sont différents du polynomes nul donc famille libre.

bonsoir

cela ne va pas avec ceci tu démontrerais que toute famille ne contenant pas le polynôme nul est libre ...

[mayele]

Justement c'est pour ça que je doutais, mais par exemple quand on écrit P pour n'importe quel valeur k différent de i, on voit bien que les Pk ne s'annulent pas, ou bien je me dit ptète qu'il faut raisonner autrement en procèdant par l'absurde ?

[alavacommejetepousse]

un simple exemple dans R

a et b deux réels vérifiant
a+ b = 0
en déduis tu a = b = 0 (c'est un peu ça que tu fais)?