Bases et E.V.

[Dynamo]

Bonjour, j'aide ma copine à réviser un examen de maths algèbre linéaire, et la question est de montrer que l'ensemble des matrices 2X2 symétriques à coefficients réels (ici appelé V) est un espace vectoriel réel, puis il faut en trouver une base et la dimension.

Est-il autorisé de la jouer à l'envers de genre :
Toute matrice symétrique à coefficients réels peut s'écrire comme combinaison R-linéaire des matrices

(1 0) et (0 1) donc V est un espace vectoriel réel de base B ci précitée et donc de dimension
(0 1) (1 0)

D=card(B)=2 ? Ou est-ce interdit ? Il est possible que je fasse erreur sur les combinaisons ou que la liberté de la famille composant ma base pose problème je suis assez perturbé par un espace vectoriel composé uniquement de matrices ... :help:

Merci d'avance pour vos réponses avisées !

[zygomatique]

salut

on peut toujours deviner la réponse (qui est donnée dans la question en fait) ... mais il faut le prouver .....

encore faut-il que ce soit exact .... or ta base n'engendre pas toutes les matrices symétriques réelles ....

[MacManus]

Bonjour,

Pour montrer que l'ensemble des matices 2x2 symétriques à coefficients réels forme un R-espace vectoriel, on peut montrer que c'est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices 2x2 à coefficients réels qui est un espace vectoriel.

1) Montrer que ce sous-espace est non vide (pas difficile)
2) Montrer que toute combinaison linéaire de matrices de ce sous-espace appartient également à ce sous-espace. (stabilité)

De plus, la base que tu proposes n'est pas la bonne.

Si tu considères une matrice 2x2 symétrique avec a,b et c des coefficients réels, alors on a:

= a +b +c

En fait la dimension du sous-espace vectoriel des matrices réelles symétriques d'ordre n est

[Dynamo]

salut

on peut toujours deviner la réponse (qui est donnée dans la question en fait) ... mais il faut le prouver .....

encore faut-il que ce soit exact .... or ta base n'engendre pas toutes les matrices symétriques réelles ....

Ah bon ? En fait j'aimerais bien comprendre mon erreur parce que je pensais que par cette combinaison on obtenait toutes les matrices étant donné que la somme des deux coefficients appliqués donne quelque chose du genre
(a b)
(b a)
avec a et b réels de notre choix, je dois avoir une mauvais conception des notions de bases et de matrices mais bon c'est rarement bien expliqué les cours ressemblent plus à un parachutage de formules ... Donc au passage si tu avais un site ou un livre permettant d'approfondir le sujet de manière plus pédagogue ...

[Dynamo]

Ah en fait j'avais simplement une mauvais notion de matrice symétrique. Merci MacManus !

[MacManus]

Ah en fait j'avais simplement une mauvais notion de matrice symétrique. Merci MacManus !

En fait la symétrie est "visible" par rapport à la diagonale de la matrice.

[Dynamo]

D'accord il n'est pas obligé que la diagonale inverse comporte des éléments égaux ...

[MacManus]

D'accord il n'est pas obligé que la diagonale inverse comporte des éléments égaux ...

Non, car d'après la définition, une matrice est symétrique si l'on a , c'est à dire que la transposée de la matrice est la matrice elle-même. Je te laisse y réfléchir !

[zygomatique]

Bonjour,

Pour montrer que l'ensemble des matices 2x2 symétriques à coefficients réels forme un R-espace vectoriel, on peut montrer que c'est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices 2x2 à coefficients réels qui est un espace vectoriel.

1) Montrer que ce sous-espace est non vide (pas difficile)
2) Montrer que toute combinaison linéaire de matrices de ce sous-espace appartient également à ce sous-espace.

De plus, la base que tu proposes n'est pas la bonne.

Si tu considères une matrice 2x2 symétrique avec a,b et c des coefficients réels, alors on a:

= a +b +c

En fait la dimension du sous-espace vectoriel des matrices réelles symétriques d'ordre n est

:mur: