par L.A. » 29 Déc 2013, 17:17
Je pense que tu manques un peu de familiarité avec les espaces vectoriels vraiment abstraits. Dans ton cours, tu as certainement plein de définitions et de théorèmes qui commencent par "soit K un corps quelconque". Intuitivement, tu les as pensés avec K=R et c'est tout à ton honneur puisque c'est le cadre géométrique familier que l'on voit en primaire et au collège. En particulier, pour toi, une "droite" est un truc forcément continu et constitué d'une infinité de points, qui ressemble à une ficelle tendue entre deux points fixés.
Mais l'algèbre linéaire traite aussi bien n'importe que corps. Tu as peut-être travaillé avec des ev complexes, là déjà la vision géométrique en prend un sacré coup (le "plan complexe", qui est un plan sur R, devient une droite sur C, deux nombres complexes peuvent n'être pas R-colinéaires mais sont toujours C-colinéaires, etc...). Passer à des corps finis fait encore progresser d'un pas vers l'abstraction, on passe du continu au discret, de l'infini au fini (en général, mais du coup on y gagne en facilité).
Dans le K-ev K^2 avec K=F_3, les droites sont constituées de 3 points : étant donné un vecteur u, la droite Ku est l'ensemble {0, u, 2u} puisque K={0,1,2}. L'espace K^2 tout entier n'est constitué que de 9 points en tout. Et le nombre d'éléments d'une base est par définition la dimension de l'espace K^2 sur le corps K que tu peux trouver sans difficulté...