Bases orthogonales

[Shalom15]

Bonsoir. Svp comment je fais pour déterminer une base orthogonale pour une forme quadratique?

[phyelec]

Bonjour,

faites une réduction de Gauss de votre forme quadratique, le résultat obtenu fait apparaître des formes linéaires linéairement indépendantes φ1, φ2, et φ3 ...
par exemple sur R3 on pourrait avoir
q(x, y, z) = + +

φ1(x, y, z) = x
φ2(x, y, z) = y + x
φ3(x, y, z) = y + z .

Ensuite déterminez la base duale v1, v2, v3 de cette base de formes linéaires en résolvant le
système linéaire paramétré par trois réels a, b, c ( à savoir trouver x,y,z en fonction de a,b,c)
φ1(x, y, z) = a
φ2(x, y, z) = b
φ3(x, y, z) = c.

déduire des égalités du systèmev1 , v2 et v3., ces trois vecteurs (v1, v2, v3) forment une base B orthogonale pour q.

[Shalom15]

Donc ma base orthogonale c'est la base duale de {φ1,φ2,φ3}. Merci. Par contre je ne comprends pas la méthode que tu utilises pour determiner la base duale. En principe on aurait vj(φi)={1,0}

[phyelec]

je n'ai pas assez d'éléments sur ton exercice pour te répondre, je donne juste une méthode, les notations peuvent être différentes, mon exemple ne correspond pas à ton exercice que je ne connais pas.
Sur tu es dans R3 alors chaque élément de ta base vi a 3 composantes et non 2 comme tu l'énonces vj(φi)={1,0}

[Shalom15]

Ok merci. De toute facon je voulais une méthode générale.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Ça nous ramène à un problème que tu as déjà rencontrer dans un autre fil : calculer la base antéduale d'une base de formes linéaires. Encore des soucis avec ça ?

Recette de cuisine : ranger dans les lignes d'une matrice (carrée) les coefficients des formes linéaires de la base. Calculer l'inverse de cette matrice. Servez immédiatement les vecteurs colonnes de l'inverse en disant : "voila la base antéduale" !

Exercice : pourquoi la recette marche-t-elle ?

[Shalom15]

Bon avec les deux méthodes j'ai retrouvé le même résultat. Par contre en rapport à ta question GaBuZoMeu je n'en ai aucune idée (mais bon je promets d'y réflechir le soir après les cours). Par contre, j'avoue que dès le début j'ai du mal à cerner la notion d'espace dual et tout ce qui va avec.

[GaBuZoMeu]

Je te ramène comme sur l'autre fil à la définition de la base duale !
Peux-tu me rappeler quelle est cette définition ?
Une fois que tu l'auras bien en tête, de manière opérationnelle, tu verras le pourquoi de la recette que j'ai donnée et que j'illustre :

En ligne les formes linéaires de la base :

En colonne les vecteurs de la base :

Bases duales : les matrices sont inverses l'une de l'autre.

[Shalom15]

La base duale B* d'une base B est l'ensemble des formes linéaires sur B

[GaBuZoMeu]

Rassure-moi, le message précédent est complètement foiré et ne correspond pas à ce que tu voulais écrire, n'est-ce pas ?

[Shalom15]

Hm, je croyais pourtant qu'une base de E*( espace dual de E) est une famille constituée des formes linéaires sur E

[GaBuZoMeu]

Pas constituée DES formes linéaires, mais constituée DE formes linéaires sur E

"l'ensemble des formes linéaires sur B" n'a strictement aucun sens. Déjà, B n'est pas un espace vectoriel.

Allez, peux tu me rappeler sérieusement la définition de base duale ?
Soit une base de . La famille de formes linéaires sur est la base duale de si et seulement si ....

[Shalom15]

la famille (l1,....,ln) est la base duale de B ssi pour tout i,j elements de {1,...,n}

[GaBuZoMeu]

Ah, tout de même !
Tu as tout ce qu'il faut avec cette définition pour justifier la recette de cuisine pour calculer la base duale. Regarde les matrices que j'ai écrites dans mon message de 13:42.

[tournesol]

.

[tournesol]

Shalom15 , n'oublies pas:
1 que tout vecteur a des coordonnées dans toute base.
2 que pour une base donnée (ei) , et pour tout i , l'application qui à tout vecteur fait correspondre sa ième coordonnée dans la base (ei) est une forme linéaire .
3 que l'ensemble des formes coordonnées ainsi obtenu est une base de l'ensemble des formes lineaires en dimension finie .
4 c'est cet ensemble que l'on appelle la base duale de la base (ei)
5 on la note traditionnelement (ei*)

[Shalom15]

ok merci bcp