Bases et équations

[mamax49]

Bonjour a tous, j'aimerais savoir si j'ai bon, et ce qu'il cloche?

U1 = (1,4,1) U2 =(2,7,1) U3 =(1,5,2)
V1=(1,5,1) V2=(1,3,-1)

Soit le sous espace engendré par u1, u2, u3 etcelui engendré par V1, V2


(a) trouver bases et équation pour U et V

Pour U :









l'équation de la droite est z = -3x +y 0 = -3x +y -z
une base peut etre 0,1,1)(1,3,0)

Pour V :








donc l'equationd de la droite est Z= -4x+y 0=-4x+y-z
Une base peut etre 0,1,1)(1,4,0)

Trouver une base et deux équation pour U inter V:
Z=-4x+y=-3x+y ( sa donne -4x = -3x et c'est pas normale :mur: )
z=-x
équation de U inter V :0= -x-z

une base peut etre : (-1,0,1)(1,0,-1)

et je trouve que une équation de droite, et non pas deux . . .

enfin, Prolonger la base trouvé pour U inter V à une base de R^3

Une base peut etre (-x,0,-y)(0,1,1)(0,0,1)

merci d'avance

[kissifrot]

Bonjour,

Il, faut bien réduire ta matrice formée par les vecteurs (même si généralement on les met plutot en colonne.).
Quel est le rang de ta matrice ? ---> il ne faut pas parler de droite mais de plan.
Trouve deux vecteurs indépendants qui sont dans ton plan (j'ai par exemple pris ), ces deux vecteurs forment une base de U. Pour trouver l'équation, je n'ai pas bien compris ta méthode mais je trouve la même équation : il suffit de trouver un vecteur orthogonal au deux autres (par exemple le produit vectoriel des deux).

Essaies la même méthode pour V (ton équation est tout de même exacte).

Pour trouver une équation de , tu a du voir ça au lycée : tu cherche une intersection de deux plans, tu dois donc résoudre le système formé par tes deux équations de plan, ce qui te donne (si tes deux plans ne sont pas confondus) une équation de droite, dont tu tire un vecteur générateur qui doit donc être une base de ta droite. (je trouve pour ma part comme base.).

Enfin, pour prolonger ta base en une base de , trouve deux vecteurs indépendants :
-entre eux,
-avec le vecteur base de ta droite.

(cherche généralement parmi les vecteurs canoniques).

Dans l'ensemble, ta méthode pour trouver U et V à l'air de marcher (même si je n'ai pas tout à fait compris comment tu as fait), mais pour trouver l'intersection de U et V, il te faut résoudre un système et non pas une seule équation.

[mamax49]

j'ai utiliser espl(U) = espl [ la matrice ] etc etc
et la fin de je simplifie pour avoir la matrice identité et ainsi, mon équation de droite est : Z = la derniere colonne

[kissifrot]

Oui, en soit, ta méthode m'a l'air correct, mis à part la convention usuelle de mettre les vecteurs en colonne pour former ta matrice.

Par contre, lorsque que tu parle de "droite", c'est faux : U et V sont des plans (ce qui semble logique vu que apres tu donne une base de deux vecteurs).

Plus précisément, le plan U est l'image de par la matrice formée par les vecteurs , qui est de rang 2. Idem pour V, sauf que ta matrice définit alors une application de ( si tu mets tes vecteurs en colonne ).

Apres pour trouver une équation de , c'est vraiment du cours de lycée : tu traduit en équation le fait que un vecteur (x,y,z) appartienne à la fois à U et à la fois à V, ce qui te donne ton système à 2 équations, 3 inconnus d'où un paramétrage de la droite solution et un vecteur directeur qui est donc une base.

Dis moi si tu me suis, j'ai l'impression d'avoir écrit un capharnaum ...