Bases duales

par **sandyl** » 29 Oct 2008, 19:45

Bonjour! je suis en L2 de math et j'ai un exercice sur les bases duales;
Soit E=Kn[X].montrer que la famille suivante forme une base de E* et trouver la base duale.
fi(P)=P(dérivé i fois)(0)
Je crois que pour la première question j'ai réussi mais je vois pas comment trouver la base duale...quelqu'un pourrait-il m'aider? merci

par **leon1789** » 29 Oct 2008, 19:49

Bonsoir,

est-ce tu peux écrire tout polynôme P sous la forme

en explicitant les

?

par **Purrace** » 29 Oct 2008, 19:56

Tu n'aurais pas par hasard oublier les X^i

Edit: Ils sont contenues dans les Bi

par **Maxmau** » 30 Oct 2008, 12:35

Bj

Les ;)j sont des polynômes
Dire que ( ;)0 , ;)1 , ;)2 , ., ;)n )
est une base duale de ( f0 , f1 , f2 , ., fn)
Signifie que fi(;)j) = ;)ij (;)ij = 1 si i=j et 0 sinon )

par **sandyl** » 30 Oct 2008, 20:32

Alors, j'ai essayé de faire avec plusieurs polynômes concrets
(P=aX²+bX+c ou P=aX^3+bX²+cX+d) pour que se soit plus facile et j'arrive a tous les écrire
P= XP'(0)+ [(X²/2)P''(0)]+ [(X^3/3!)P'''(0)]
donc, d'apres ce que vous m'avez dit, la base duale serait
(X, (X²/2), (X^3/3!),...,(X^n/n!)]
Vous pouvez me dire si c'est sa ou si je me trompe complètement svp!! merci

par **leon1789** » 02 Nov 2008, 18:17

sandyl a écrit:Alors, j'ai essayé de faire avec plusieurs polynômes concrets
(P=aX²+bX+c ou P=aX^3+bX²+cX+d) pour que se soit plus facile et j'arrive a tous les écrire
P= XP'(0)+ [(X²/2)P''(0)]+ [(X^3/3!)P'''(0)]
donc, d'apres ce que vous m'avez dit, la base duale serait
(X, (X²/2), (X^3/3!),...,(X^n/n!)]
Vous pouvez me dire si c'est sa ou si je me trompe complètement svp!! merci

Ce que tu dis est correct, mais...
Est-ce que tu fais la différence entre l'espace E et le dual de E* (que l'on note E**) ?

par **sandyl** » 02 Nov 2008, 19:37

C'est vrai que j'ai du mal à comprendre ce chapitre sur la dualité et je vois pas la différence entre E et E** en ce qui concerne cet exercice...si vous pouviez m'éclairer!!! :happy2:

par **leon1789** » 02 Nov 2008, 19:40

sandyl a écrit:C'est vrai que j'ai du mal à comprendre ce chapitre sur la dualité et je vois pas la différence entre E et E** en ce qui concerne cet exercice...si vous pouviez m'éclairer!!! :happy2:

E est un espace vectoriel
E*, c'est quoi pour toi ?
...et E** ?

par **sandyl** » 02 Nov 2008, 20:48

E*,c'est l'espace dual de E ( une application de E dans K) et E** c'est l'espace dual de E*

par **leon1789** » 02 Nov 2008, 21:33

sandyl a écrit:E*,c'est l'espace dual de E ( une application de E dans K) et E** c'est l'espace dual de E*

ok,
et donc les éléments de E** sont des applications de E* dans K

En dimension finie (comme dans ton exo), on identifie E et E** via cette correspondance :

où

pour tout

Ainsi, pour ton exo, tu peux trouver la base duale dans E**

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