Bases duales

[arnaud32]

si tu prends f dans V*
et qui tu ecris f(x) pour dans la base des qu'obtiens tu?

[sarah79]

f(x)=f(x1e1+x2e2+...+xnen)?

[arnaud32]

et si tu developpes par linearite de f?
et si tu ecris ensuite

[sarah79]

f(x)=f(x1e1)+...f(xnen)
= f(e1*(x)e1)+ ..+f(en*(x)en)

et la je bloque

[arnaud32]

il faut bien que tu saches qui est un scalaire, qui est un vecteur, qui est une fonction.
la e1*(x) est un scalaire donc f(e1*(x).e1) = e1*(x).f(e1)

[sarah79]

a oui d'accord mais ça m'aide pour quoi?

[sarah79]

pour montrer que c'est linéaire si c'est ça ji suis arrivé.
Mais après il faut parler de la dimension de L(V,K)=V*

[arnaud32]

tu viends de prouver que pour tout x de V:

c'est a dire en terme fonctionnel

soit

et donc que f est une combinaison lineaire des

[arnaud32]

la famille est une famille libre et generatrice de V* c'est donc une base de V*
et dim(V)=dim(V*)=n

[sarah79]

Pour rédiger correctement la question :

a) 1. je montre que la famille (e1*,...en*) est libre
2. je montre que f(x)=f(x1e1+x2e2+...+xnen) est linéaire
3. je parle de dimension (dim(V*)=n?) et donc je dis que la famille (e1*,..en*) est libre maximale dans V* donc base de V*
c'est ça?

b) 1. je suppose v appartenant a V et v=0 alors v=v1e1+...+vnen=0 après je bloque un peu, je dis soit f appartenant a V*alors f(v)=f(0)=0 car l'image du vecteur nul par une application linéaire est le vecteur nul?
2. dans l'autre sens , je suppose pour tout f de V*, f(v)=0 et je bloque aussi

[sarah79]

donc a)3. libre génératrice donc base

[arnaud32]

a)
1) tu montre que la familee B* est libre
2) tu montre que tout f de V* s'excrit
3) tu en conclus que B* est une base de V*
4) tu conclus que dim(V)=n=dim(V*)

b)
si v=0 f etant lineaire, f(0)=0
dans l'autre sens si pour tout f de V*, f(v)=0 alors pour tout i
car est dans V*

[sarah79]

Oki merci beaucoup pour toutes les explications

[sarah79]

question c il faut montrer que phi est linéaire et bijective (injective et que V et Kn soit de meme dimension)

pour linéaire je dis soit u et v appartenant à V et s un scalaire
phi(u)+phi(v)= (f1(u), ...fn(u))+(f1(v),...fn(v))=(f1(u+v),..fn(u+v))=phi(u+v)
et que s.phi(u)=phi(s.u)
(y a t-il des justifications a faire au cours du développement? Faut-il utiliser le fait que B' base de V* et comment?)

pour injective il faut que je montre ker(phi)=0 et ke dim V=dim Kn=n

Mon raisonnement est bon?

[arnaud32]

phi est lineaire car chacune de sas composantes est lineaire par definition de V*

et oui c'est bon tu prouves qu'elle est injective et l'egalite des dimesnsions fait le reste.

indic: pour l'injectivite utilise b) et le fait que les f_i sont une base de V*

[sarah79]

je n'arrive pas a montrer que phi est injectif je bloque dès le depart
ker(phi)=?

[arnaud32]

phi(v) = 0 ca veut dire quoi?

[sarah79]

ça veut dire que l'image de v par phi est 0

[sarah79]

donc v appartient a ker phi

[sarah79]

ker (phi)={x appartenant a V tel que phi(x)=0}
cad f1(x)=0
f2(x)=0 c'est ça?
et donc x=0