Bases duales, applications linéaires etc

[ArtyB]

Bonjour,

Nouveau post pour reprendre mon raisonnement au propre, est-ce que tout cela est bon (notamment les deux dernières questions) ?

On considère les espaces vectoriels suivants, munis chacun de deux bases :
- E = , de bases et ,
- F = , de bases et .

Soit f : E- > F l’application linéaire donnée par la matrice M = dans les bases B et C.

1) On désigne M' la matrice de f dans les bases B' et C'.
(a)Donner la matrice P de passage de B à B' et Q de C à C'.
On a:


Et



(b) Quelle est la relation entre M, P, Q et M' ? Utiliser cette relation pour calculer M'.
On a:

2. Soit E* le dual de E et (h(1); h(2), h(3)) la base duale de B'.
(a) Pour le polynôme p = aX² + bX + c,
déterminer les expressions de h(p), h(p) et h(p) en
fonction de a, b, c.
On a:




p est tel que:



Soit, il suffit de résoudre le système suivant:
v+w=a
u+w=b
u+v+w=c

D'où l'on a :




(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et
donner ses coordonnées dans la base (h(1),h(2),h(3))
On a :


et





d’où les coordonnées de f(p) dans C’ sont


Donc f(p)=(c-a)(1-X)+(c-b)(2X-1)

et f(p(1)=(c-a)(1-1)+(c-b)(2*1-1)=c-b

c-b est un réel.

On a et son dual est l’ensemble des applications linéaires de sur .
Comme G est linéaire, et que G part de sur (c-d est réel), G appartient à .

[MouLou]

Tu n'as pas dormi cette nuit? :D.

J'ai lu rapidement tous tes posts et ca m'a lair juste, apres je m'embrouille toujours un peu sur ce genre de calculs.

[ArtyB]

Dormir ? Pour quoi faire ? :D
Je déteste de ne pas réussir ni comprendre quelque chose, ça m'empêche de dormir haha et du coup j'étais lancé, j'ai fait plein d'exos !
Bon si même toi tu t'embrouilles alors c'est que je ne peux rien faire ;)

[MouLou]

J'ai pas dit ca, c'est que faut juste faire les trucs avec precaution, faire gaffe a prendre la bonne matrice et pas son inverse, multiplier dans le bon ordre etc... Sinon c rien de sorcier, mais la en ayant lu rapidement je dis que je pense que c'est juste , mais que je ne me prononce pas comme étant fiable :p

[ArtyB]

Hahaha d'accord, je verrai bien, là je vais m'accord une heure de sommeil, j'ai cours à 09:00 haha, encore merci pour toute ton aide !