Bases et déterminants

[pouik]

Bonjour,
Je bloque dès l'entame de ce petit exo. Il me manque un petit quelque chose pour progresser dans cet exercice. Peut etre pourrez vous m'aider à le trouver. Merci d'avance.

Soit un -espace vectoriel de dimension , soit un endomorphisme de , supposé diagonalisable. A quelle condition existe-t-il un vecteur de tel que la famille soit une base de ? On écrira le déterminant de la famille relativement à une base de vecteurs propres de .


ET en fait je n'arrive pas du tout à déterminer !!! :hum:

[pouik]

Avez vous une idée sur comment in pourrait procéder pour avoir une base de vecteurs propres de car je n'y arrive toujours pas

Merci d'avance.

[abcd22]

Bonsoir,
L'énoncé suppose que u est diagonalisable, donc on dit « soit B une base de vecteurs propres de u, la matrice de u dans B est de la forme ... », B existe car u est diagonalisable, mais sans information supplémentaire sur u on ne peut rien dire de plus précis.

[Antho07]

essaye de montrer que cette famille est libre si et seulement si u admet n valeurs propres distinctes.

( en raisonnant sur le degre du polynome minimal on i arrive car on sait que u est diagonalisable)*


EDIT: desole j ai lu trop vite, ce que je vien de dire est valable pour la famille (IdE,u,u²,...,u^(n-1))

[pouik]

essaye de montrer que cette famille est libre si et seulement si u admet n valeurs propres distinctes.

( en raisonnant sur le degre du polynome minimal on i arrive car on sait que u est diagonalisable)*


EDIT: desole j ai lu trop vite, ce que je vien de dire est valable pour la famille (IdE,u,u²,...,u^(n-1))

Pourriez vous etre un peu plus explicite car j'ai vraiment du mal avec tous ces concepts.

Merci d'avance.