Base

[Javos]

Bonjour.
J'ai un petit souci avec une base.
Voici l'énoncé :

Soit F le sev de R^5 engendré par les vecteurs (1,0,1,-1,0), (2,1,2,1,1) et (3,1,2,0,1). Et je dois trouver une base de F. Je sais qu'une base correspond à toute partie génératrice et libre de cet espace vectoriel. Les 3 vecteurs sont indépendants donc ils forment une base. Ca c'est bon.

Soit G le sev de R^5 engendré par le vecteurs (1,1,3,-1,-1),(2,-1,-4,4,-1), (0,1,2,0,1) et (1,-2,-3,-1,-2). Sur celui là je bloque car je n'arrive pas à trouver une base. J'ai essayé de trouver une relation de colinearité entre les vecteurs mais je ne trouve rien.
En espérant que vous allez m'aider, merci d'avance. :lol3:

[alavacommejetepousse]

bonjour

partir de la définition et résoudre
au +bv +cw+dz = 0 d'inconnues réelles a,b,c,d

[Javos]

Oui merci. C'est ce que j'ai essayé de faire et ca me donne :
a(1,1,3,-1,-1)+b(2,-1,-4,4,-1)+c(0,1,2,0,1)+d(1,-2,-3,-1,-2)=0

Soit :
a+2b+d=0
a-b+c-2d=0
3a-4b+2c-3d=0
-a+4b-d=0
-a-b+c-2d=0


Donc en faisant la deuxième - la derniere on trouve que a =0 puis la premiere + la quatrième on a 6b=0 soit b=0 on a donc d=0 et c=0... Mais c'est pour montrer que c'est libre. C'est pour montrer que c'est générateur que je bloque plus...
Merci.

[alavacommejetepousse]

puisque G est par DEFINITION le sev engendré par ces vecteurs la famille est PAR DEFINITION génératrice de G

[Javos]

Ok merci. Donc Les 4 vecteurs forment une base de G.

Ensuite je dois déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G.

Je fais de meme avec les 7 vecteurs ? :doh:

Merci.

[alavacommejetepousse]

ben oui

aucune chance que la famille soit libre mais il faut qd même résoudre le système (ou du moins avoir le rang)

[Javos]

Mais si ce n'est pas libre comment je vais déterminer une base ? :triste: Merci.

[alavacommejetepousse]

la résolution explicite te donnera les relations entre a,b,c,d,e,f,g

[Javos]

Ok merci. Donc ca me donne :
a(1,1,3,-1,-1)+b(2,-1,-4,4,-1)+c(0,1,2,0,1)+d(1,-2,-3,-1,-2)+e(1,0,1,-1,0)+ f(2,1,2,1,1)+g(3,1,2,0,1)=0

Soit :
a+2b+d+e+2f+3g=0
a-b+c-2d+f+g=0
3a-4b+2c-3d+e+2f+2g=0
-a+4b-d-e+f=0
-a-b+c-2d+f+g=0
Et je résous ce système après ?

[alavacommejetepousse]

oui

tu cherches à exprimer certaines inconnues en fonction d'autres

connais tu la méthode du pivot de gauss ?

[Javos]

Oui je la connais.

a+2b+d+e+2f+3g=0 L1
a-b+c-2d+f+g=0 L2
3a-4b+2c-3d+e+2f+2g=0 L3
-a+4b-d-e+f=0 L4
-a-b+c-2d+f+g=0 L5

Ca nous donne :
L2-L5 : 2a=0 donc a =0

Mais après je ne vois pas trop comment m'en sortir...
Merci pour votre aide.

[alavacommejetepousse]

il faut continuer

éliminer les b dans les lignes 2 à 5 puis les c dans les lignes 3 à 5 etc

[Javos]

Ok merci.

a+2b+d+e+2f+3g=0 L1
a-b+c-2d+f+g=0 L2
3a-4b+2c-3d+e+2f+2g=0 L3
-a+4b-d-e+f=0 L4
-a-b+c-2d+f+g=0 L5

Ca nous donne :
L2-L5 : 2a=0 donc a =0
2L2-L1 : 3a+2c-3d+4f+5g=0

Mais on élimine les b en prenant comme référence la ligne L1 ?

[alavacommejetepousse]

oui car les a ont disparu

[Javos]

Ok merci.
Donc je reprend ca nous donne :

a+2b+d+e+2f+3g=0 L1
a-b+c-2d+f+g=0 L2
3a-4b+2c-3d+e+2f+2g=0 L3
-a+4b-d-e+f=0 L4
-a-b+c-2d+f+g=0 L5

Ca nous donne :
L2-L5 : 2a=0 donc a =0
2L2-L1 : 3a+2c-3d+4f+5g=0
L3+2L1 : 5a+2c-d+3e+6f+8g=0
L4-2L2 : -3a-3d-3e-3f-6g=0
L1+2L5 :-a+2c-3d+e+4f+5g=0

Est ce correct jusqu'ici ?
Merci.

[alavacommejetepousse]

pourquoi trainer a alors qu 'il est nul ?
(je ne vérifie pas les calculs)

[Javos]

Oui c'est vrai que je peux le retirer... Mais le principe est correct ? Ce cou ci je retire les c mais je ne prend plus L1 comme pivot ?

[NICO 97]

Bonjour,
Je me suis interressé à la question, et si je comprend bien la démarche, il s'agit de dire, par exemple:
SI
[aV1+bV2+cV3+dV4+eV5+fV6+gV7=0] => [a=g=0 et (b,c,d,e,f)liés]
ALORS
(V2,V3,V4,V5,V6)libre

En même temps, j'avoue que quelquechose m'échappe dans ce raisonnement!

[alavacommejetepousse]

,
(b,c,d,e,f)liés]

que signifie ceci?

[Javos]

Mais si on montre que les 5 premiers sont indépendants, comme on est dans R^5, cela montrera que
F+G=R^5 non ? Et au moins ca évite des calculs non ?